Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Si scelga un arbitrario punto $M$ all'interno del segmento $AB$.
Dalla stessa parte di $AB$ si costruiscano i due quadrati $AMCD$ e $MBEF$ con $AM$ e $MB$ come rispettive basi.
I due cerchi che circoscrivono i due quadrati, con centri $P$ e $Q$, si intersecano in $M$ e in un altro punto $N$.
Chiamiamo invece $N'$ il punto d'intersezione ...
Dato un triangolo acutangolo, qual è il triangolo inscritto in esso dal minor perimetro?
Dimostrazione.
Cordialmente, Alex
Nel triangolo acutangolo $ABC$ sia $H$ il piede dell'altezza relativa ad $AB$ e siano $D,E$ i simmetrici di $H$ rispetto ad $AC, BC$; sia poi $K$ l'intersezione di $AC$ e $DE$. Dimostrare che $BK$ è perpendicolare ad $AC$.
Con l'analitica ho verificato l'affermazione data ma, almeno per ora, non riesco a darne una dimostrazione sintetica e chiedo aiuto.
Dette $CH$ e $BK$ due altezze del triangolo acutangolo $ABC$, dimostrare che $AhatKH=beta$ e $AhatHK=gamma$. Basta dimostrarne una.
Una mia amica si sta preparando per un test e mi ha chiesto un aiuto, ma ci sono dei quesiti, tutti dello stesso genere, nei quali non riesco proprio ad aiutarla. Un esempio:
$57\ \ 21$ più
$38\ \ 4$ meno
$ 54\ \ 18$ più
$48 \ \ 16$ meno
$71 \ \21$ meno
Scegliere la risposta corretta tra
A) $12\ \ 21$
B) $91 \ \ 75$
C) $51 \ \31$
D) $75 \ \ 39$
E) $62 \ \ 28$
La risposta corretta è la D
Nel triangolo di numeri in figura
ogni numero (tranne l'unico numero ($1$) che forma la prima riga in cima) è la somma di tre numeri della riga precedente e più precisamente quello che si trova esattamente sopra di esso e i due che stanno ai lati di quello.
Se un posto è vuoto lo si assume pari a zero.
Dimostrare che ogni riga, dalla terza in poi, contiene almeno un numero pari.
Cordialmente, Alex
Quando il professor Crivelli si recò alla stazione di Polizia per denunciare il furto della sua macchina nuova, non riusciva a ricordare il numero di targa.
"Quattro cifre, Ispettore" disse, "Questo lo so, ma non ne ricordo neppure una."
"Quattro cifre, eh?" disse il sergente Birretta, "Bene, è un inizio. Ma sarebbe meglio qualcosa di più definito, Signore."
Il viso del professore assunse un'aria assorta. "Aspetti", disse, "proprio ieri parlavo con mia nipote di fattori".
"Fattori?" interloquì ...
Ho una successione di punti del piano così definita
Adesso, ho provato a dimostrare che le due successioni che generano ciascun punto convergono ad un certo valore ma per il momento sono solo riuscito a dimostrare che convergono:
(So di per certo che convergono ad $ sqrt(ab) $, è un po’ come barare, ma lo dice la soluzione )
Avevo avuto qualche idea, tipo dimostrare che si ricadrebbe in un assurdo se le ...
Nello spazio euclideo [tridimensionale] siano $a$, $b$ e $c$ tre semirette non complanari di origine comune $V$ e siano $φ$, $χ$ e $ψ$ gli angoli che hanno per lati una coppia delle dette tre semirette. Precisamente siano:
$φ = (b, c)$;
$χ = (c, a)$;
$ψ = (a, b)$.
Si consideri una sfera tangente a tutte tre le semirette. e si dicano:
$r$ il raggio della sfera ...
Lo stato di Santannaland utilizza come moneta nazionale il Piso e la Banca Centrale ha deciso di stampare banconote di soltanto due tagli. Si tenga conto che:
a) tutti i beni hanno un prezzo intero, compreso tra $1$ e $100$ (estremi compresi);
b) i beni hanno prezzi uniformemente ripartiti e la stessa probabilità di essere acquistati;
c) i pagamenti vengono fatti in contanti per la cifra esatta e senza ricevere resto;
d) ogni cittadino possiede banconote dei due tagli ...
Si divida una circonferenza in $n$ parti uguali.
Si colleghi ognuno degli $n$ punti di divisione con un altro punto di divisione che si trovi $m$ passi avanti (solo corde, no diametri).
Dimostrare che per ciascuno dei punti interni alla circonferenza passano al massimo due di queste corde.
Cordialmente, Alex
Il sistema $ cos(a/n pi)/cos(b/n pi)=cos(c/n pi)/cos(d/n pi)=cos(e/n pi)/cos(f/n pi)>0$
ammette soluzioni in $ NN $ con valori di $ a,b,c,d,e,f $ distinti e minori di $ n $.
Qual è il minimo valore di $ n $?
Quante e quali sono sono le relative soluzioni?
Cosa cambia se si ammette l'uguaglianza di due (solo due) dei valori di $ a, b, c, d, e, f $ ?
Ciao
Editato per introdurre ( dopo la bella soluzione di giammaria) l'ulteriore condizione: "le frazioni devono essere positive"
$ABCD$ è un parallelogramma che NON ha angoli di $60°$.
Esternamente ai lati $AD$ e $DC$ disegnate i triangoli equilateri $ADE$ e $DCF$.
Dimostrare che il triangolo $BEF$ è equilatero.
Cordialmente, Alex
Il numero [size=150]$3^105+4^105$[/size] è divisibile per $13, 49, 181$ e $379$ ma non è divisibile né per $5$ né per $11$.
Vero?
Cordialmente, Alex
Dato il triangolo $ABC$, descrivere l'insieme dei punti $X$ tali che $ADX$ sia un triangolo equilatero e che il punto $D$ giaccia sul lato $BC$.
Cordialmente, Alex
Salve, vorrei sottoporre alla vostra attenzione un quesito di logica in cui mi sono imbattuto stamane.
Abbiamo quattro carte che hanno stampata una lettera da un lato e un numero dall'altro. Si pongono sul tavolo in modo che se ne veda solo un lato. Ciò che si vede è: u 8 m 7. Il maestro dice agli allievi:"Se una carta ha da un lato una vocale, dall'altro ha un numero pari!"
Quali carte voltereste per controllare se è vero ?
A. Bisogna voltarle tutte
B. Basta voltare la u
C. Si devono voltare ...
Alice, Barbara e Carla decidono di fare una corsa. Alice corre ad una velocità costante di 6 km/h mentre Carla corre ad una velocità costante di 18 km/h. Se Barbara parte 15 minuti dopo Alice e Carla parte 15 minuti dopo Barbara, e tutte e tre arrivano insieme al traguardo, a quale velocità costante corre Barbara? (Grazie dell'aiuto!! A breve ne seguiranno altri. Non riesco a risalire ai passaggi dello svolgimento, pur avendo la soluzione: 9Km/H)
In un mercato si possono acquistare e vendere in qualsiasi quantità, 3 titoli così
costruiti:
· il Titolo A prevede, a seguito di un’uscita al periodo 0 di 100 euro, un’entrata al
periodo 1 di 120 euro;
· il Titolo B prevede, a seguito di un'uscita al periodo 0 di 100 euro, un'entrata al
periodo 2 di 140 euro;
· il Titolo C prevede, a seguito di un'uscita al periodo 1 di 100 euro, un’entrata al
periodo 2 di 120 euro.
Per esempio acquistando mezza unità del Titolo A si incassano 60 euro al ...
Sia $M$ una matrice $4 xx 4$, tale che ogni elemento sia pari a $2$ o a $-1$ (in pratica una qualsiasi "mescola" di $2$ e/o $-1$ a piacere ).
Sia $d$ il determinante di $M$; chiaramente $d$ è un intero.
Dimostrare che $d$ è divisibile per $27$.
Ho avuto difficoltà con questo esercizio, che sembra anche molto facile. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Sia $f: RR^2 -> RR^2$ la seguente funzione $f(x_1, x_2) = (x_1 + x_2 , x_1 -3 x_2)$.
Verificare che per ogni coppia di punti $(x_1, x_2), (y_1, y_2) in RR^2$ e per ogni $k in RR$ si ha:
[list=a][*:1vgnuwyw] $f(x_1 + y_1, x_2 + y_2) = f(x_1, x_2)+f(y_1, y_2)$;
[/*:m:1vgnuwyw]
[*:1vgnuwyw] $ f(k x_1, k x_2) = kf(x_1, x_2)$.[/*:m:1vgnuwyw][/list:o:1vgnuwyw]
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