Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Buongiorno a tutti mi sono imbattuto in questo problema nella sezione "prove per l'esame" sul capitolo esponenziali e logaritmi.
Date due funzioni, di equazione del tipo $y = |3^(|x+k|) + a|$, che passano per i punti O(0, 0) e A(–2 , 8)
Determina i valori di k e a relative alle due funzioni.
io ho ragionato nel seguente modo ,visto che mi danno due punti faccio un sistema cosi :
$0=|3^(|k|)+a|$
$8=|3^(|-2+k|)+a|$
praticamente ho sostituito le x e le y dei punti dati. Però mi sono bloccato ...
Dimostrare che nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo esterno $hatC$ o è parallela alla retta AB o la incontra in un punto T tale che $AT:BT=AC:BC$
Un pallone da calcio, ossia un icosaedro troncato, ha tutti i 12 pentagoni colorati di nero mentre i 20
esagoni sono rossi oppure blu. Quanti esagoni, al massimo, possono essere colorati di blu se si vuole che
non ci siano due esagoni blu con un lato in comune? (un icosaedro troncato è un solido archimedeo di 32
facce di cui 20 sono esagoni regolari e 12 sono pentagoni regolari)
Nel cantiere di Numerotris si sono infiltrate 4 spie romane e 4 sabotatori dell’architetto che ha perso l’appalto.
Abelix ha saputo delle 4 spie (anche se non sa chi siano) ma non dei sabotatori e inizia ad interrogare tutti i
44 operai del cantiere in ordine casuale. Se trova una spia o un sabotatore lo scopre di sicuro, ma una volta
trovate tutte e 4 le spie interrompe gli interrogatori. Quanto vale la probabilità che non scopra nemmeno uno
dei sabotatori?
Come risposta fornire le prime 4 ...
Coloriamo in modo arbitrario tutti i punti del piano euclideo \( \mathbb{R}^2 \) di rosso o di blu.
Dimostra che esiste un rettangolo i cui vertici sono monocromatici.
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Studente Anonimo
16 ott 2021, 13:22
Esiste una funzione $f$, derivabile su ogni $x$ reale, tale che sia $|f(x)|<2$ e sia anche $f(x)f'(x)>=sin(x)$?
Cordialmente, Alex
Per evitare fraintendimenti stavolta posto la versione originale in inglese ...
Show that the equation $a^2+b^2=c^5+c$ has infinitely many relatively prime integer solutions.
Cordialmente, Alex
Dati i tre punti A,O, B allineati ed in questo ordine, trovare il luogo dei punti P tali che $AhatPO=OhatPB$.
Il problema è abbastanza semplice con l'analitica, quindi è gradita una soluzione che non la usi.
Dati gli interi positivi $a, b, c, d$ tali che sia $a/b<c/d<1$, disporre in ordine di grandezza crescente le seguenti cinque quantità: $b/a, d/c, (bd)/(ac), (b+d)/(a+c), 1$
E provarlo
Cordialmente, Alex
Il vertice della piramide che è opposto alla base è detto "apice".
A) Chiamiamo una piramide "isoscele" se il suo apice si trova alla stessa distanza da tutti i vertici della base.
Con questa definizione, dimostrare che la base di una piramide isoscele è inscritta in un cerchio il cui centro coincide col piede dell'altezza della piramide.
B) Ora, chiamiamo una piramide "isoscele" se il suo apice si trova alla stessa distanza (perpendicolare) da tutti i lati della base.
Con questa ...
Trovare tutte le soluzioni in interi dell'equazione $n!+1=m^2$
Cordialmente, Alex
Siano $m$ e $n$ due distinti interi positivi.
Rappresentare $m^6+n^6$ come somma di due quadrati perfetti diversi da $m^6$ e $n^6$.
Cordialmente, Alex
Dato un triangolo isoscele, siano $r$ il raggio del cerchio inscritto in esso e $R$ il raggio del cerchio circoscritto ad esso.
Dimostrare che la distanza $d$ tra i centri di questi due cerchi è pari a $d=sqrt(R(R-2r))$
Cordialmente, Alex
È un teorema fondamentale dell'Aritmetica quello che afferma che un numero naturale può essere scomposto in fattori primi in un unico modo (se tralasciamo l'ordine dei fattori).
Consideriamo l'insieme $S_1={4, 7, 10, ..., 3k+1, ...}$ con $k=1, 2, ..., n, ...$
Anche per l'insieme $S_1$ vale la "fattorizzazione unica"?
E invece nell'insieme $S_2={3, 4, 5, ..., k, ...}$?
Cordialmente, Alex
Bruno, Pietro e Paolo sono escursionisti esperti e sono in grado di camminare a $p$ km/h per lungo tempo.
Purtroppo Bruno si è ferito (leggermente) ad un piede e non potendo stare al passo degli amici, ha noleggiato una macchinina che gli permette di viaggiare a $c$ km/h.
L'automobilina è proprio piccola e può trasportare due persone al massimo, guidatore compreso, perciò i tre amici hanno deciso di adottare la seguente strategia.
Partono insieme, Paolo camminando e ...
Proposizione: per ogni \( x \in \mathbb{R} \) abbiamo \(x= \sin x \)
Dimostrazione:
Sia \( f \) una funzione continua tale che \( f(0) =0 \) e che per ogni \( x,y \in \mathbb{R} \) risulta che
\[ f(x) - f(y) = (x-y) \cos(x+y) \]
Consideriamo \( y=0 \) otteniamo che \( f(x) = x \cos x \). Ora però supponendo \( x \neq y \) dividiamo per \( x-y \) e facciamo tendere \( y \to x \) e otteniamo
\[ f'(x)=\lim_{y \to x} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}= \lim_{y \to x } \cos(x+y)= \cos 2x \]
integrando ...
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Studente Anonimo
3 set 2021, 14:39
È risaputo come sia possibile ricoprire l'intero piano con triangoli equilateri tutti uguali.
È possibile colorare tutti i vertici di rosso o di blu in modo da rispettare le seguenti condizioni?
Se due vertici del triangolo sono dello stesso colore allora il terzo vertice viene colorato di blu, se due vertici del triangolo sono di colore diverso allora il terzo vertice viene colorato di rosso.
Ovviamente si potrebbero colorare tutti i vertici di blu quindi escludiamo questa ...
Consideriamo il numero $N=025865413989732$
A prima vista niente di particolare ma se lo scriviamo così
possiamo notare che ci sono delle "salite" e delle "discese" (che l'autore chiama per l'appunto "runs")
Nell'esempio abbiamo le salite $0258, 139, 89$ e le discese $86541, 98, 9732$.
Escludendo i numeri che contengono due cifre adiacenti uguali e ammettendo che lo zero possa essere la cifra iniziale, la domanda che sorge spontanea ( ) è:
Qual è il numero medio di "runs" ...
Tre amici alle prese con il calcolo di derivate ed integrali hanno la seguente discussione.
Anna: Guardate un po' che strano... \( \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} \) ma anche \( \frac{d}{dx} \arctan\left( \frac{x+1}{1-x} \right) = \frac{1}{1+x^2} \), mi sembra strano perché sono due funzioni diverse...
Beppe: Ricordi cosa ha detto il prof?! Se \(F\) e \(G\) sono due primitive di una funzione \(f\), allora \( F(x) = G(x) + C \), dove \(C\) è una costante.
Anna: Ahh..vero vero quindi ...
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Studente Anonimo
25 lug 2021, 02:16
Disegniamo due pentagoni concentrici ($ABCDE$ e $abcde$) e colleghiamo fra loro i vertici corrispondenti (quelli più vicini fra loro cioè $aA, bB, cC, dD, eE$)
In questa figura piana ci sono molti percorsi tali che, partendo da un vertice qualsiasi, è possibile ritornarvi dopo aver toccato tutti gli altri vertici una volta sola. (es. $aABCDEedcba$).
Dimostrare che in tutti questi percorsi se c'è il segmento $aA$ non può esserci il segmento ...
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