Matrici e calendario

[Zero87]

Voglio proporre una piccola curiosità. La dimostrazione - ammesso che l'ho azzeccata - è davvero banale, perciò mi farebbe piacere vedere cimentarsi in questo esercizio qualche ragazzo delle superiori (poi, certo, chiunque è benvenuto ).

Si consideri il calendario, così come lo si vede - es. - sui calendari da scrivania o su windows. Prendiamo gennaio 2021
${: ( , , , , 1, 2, 3),( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10),(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17),(18, 19, 20, 21, 22, 23, 24),(25, 26, 27, 28, 29, 30, 31) :}$

Si dimostri che ogni sottomatrice (quadrata) estratta grande almeno 3x3 ha determinante pari a zero.

[Zero87]

Lascio in spoiler la mia soluzione. Mi auguro che sia corretta.

Se estraiamo una matrice di dimensione 3x3, e chiamiamo A, B, C, le tre colonne, per esempio
${: ( 4, 5, 6),(11, 12, 13),(18, 19, 20) :}$
e dunque
$A = ((4),(11),(18))$
$B = ((5),(12),(19))$
$C = ((6),(13),(20))$
abbiamo $C = 2B-A$
ovvero che $C$ è combinazione lineare delle altre due colonne. Quindi il determinante è nullo.

Se la matrice è 4 x 4 vale lo stesso, basta che la terza colonna sia combinazione lineare delle altre due.