Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Dato $n$ naturale, chiamo $p$ i palindromi (es. $9, 11, 313, 1001, ...$) minori o uguali a $n$,
Quanto vale $lim_(n->infty) (log p)/(log n)$ (ammesso che esista)?
Cordialmente, Alex
Data la successione $a_n$ con $n>=0$, definita in questo modo $a_n=(a_(n-1)+a_(n+1))/98$ per ogni $n$ intero positivo e inizializzata così $a_0=a_1=5$, provare che $(a_n+1)/6$ è un quadrato perfetto per ogni $n$.
Cordialmente, Alex
Dato $n$ intero, provare che l'ultima cifra di $n$ coincide con l'ultima cifra di $n^5$.
Cordialmente, Alex
Dato un triangolo qualsiasi, si costruisca esternamente, su ciascuno dei suoi lati, un triangolo isoscele avente l'angolo opposto alla base (ovvero il lato del triangolo originale) pari a $120°$.
Dimostrare che i tre nuovi vertici formano un triangolo equilatero.
Cordialmente, Alex
Esistono infiniti cubi aventi i vertici con coordinate intere.
Chiaramente quelli tra questi che hanno le facce parallele ai piani coordinati, hanno lo spigolo di misura intera.
Meno evidente è il fatto che tutti i cubi con i vertici aventi coordinate intere hanno lo spigolo di misura intera.
Dimostrazione?
Cordialmente, Alex
Sia x la soluzione positiva di $\sqrt(5-x)=5-x^2$.
Determinare quanto vale $1000x$
Sia dato un quadrato con il lato lungo un chilometro.
Dividiamolo in tre parti $A, B, C$.
Dimostrare che, in qualsiasi modo si effettui la divisione, esiste sempre una coppia di punti $P$ e $Q$, appartenenti alla stessa parte, la cui distanza $PQ$ è maggiore di $1,00778\text( km)$.
Cordialmente, Alex
Come da titolo, questi due mi sembrano abbastanza fattibili, eppure non riescono a tornarmi i conti.
1-La città di Xoto ha un sistema stradale particolare: dalla piazza principale partono 2021 strade rettilinee, e
tutte queste finiscono sulla strada esterna, di forma circolare. Quanti percorsi posso fare partendo dalla piazza e
ritornando ad essa, senza mai passare per un incrocio due volte? La piazza è da considerarsi un incrocio.
2-Per ottenere eterna fortuna, il signor $phi$agi ...
Determinare le ultime due cifre della parte intera di $y^2011$, dove $y$ è l'unica soluzione reale positiva di $x^2-29x-10=0$.
Buongiorno a tutti,
in un test per un concorso pubblico ho trovato questa domanda:
Se X-1+Y=Z-6X=3+Z allora Y è uguale a:
A) -8
B) 6
C) -6
Dalle soluzioni mi da come risposta corretta la A; non mi è assolutamente chiaro come sono arrivati a questa soluzione.
Grazie se qualcuno sa darmi delucidazioni.
Sia $N$ un numero pari non divisibile per $10$.
Qual è la cifra delle decine nel numero $N^20$ e qual è la cifra delle centinaia nel numero $N^200$ ?
Cordialmente, Alex
Buonasera a tutti,
riporto qui un problema di quelli che alcuni chiamano "l'esame più difficile del mondo", ovvero l'esame per l'ammissione all'università coreana (Suneung):
Data la seguente equazione di terzo grado
\(\displaystyle 2x^3 -3x^2 -12x +k = 0 \)
trovare il valore di \(\displaystyle k \) per il quale l'equazione presenta 3 radici reali differenti.
le opzioni sono:
1) 20
2) 23
3) 26
4) 29
5) 32
Vorrei solo degli hint e non la soluzione.
O meglio: la soluzione mi dice essere ...
1. dimostra che $500^(999)>999!$
2. generalizza la dimostrazione che $((n+1)/2)^n>n!$ con $n>=2$, $n\inNN$
L'ho trovato su YouTube e mi sembrava un problema carino e non troppo difficile
Determinare il più piccolo numero $n$ di 3 cifre tale che la quantità:
$((n),(14))\cdot((n),(15))\cdot((n),(16))\cdot((n),(17))$
sia un quadrato perfetto.
Trovare il più piccolo numero naturale esprimibile come somma di due quadrati perfetti in esattamente sette modi diversi.
Cordialmente, Alex
Prendendo spunto da un esercizio postato da poco
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1&t=215935
vi propongo una variante che dovrebbe essere accessibile agli studenti dell'ultimo anno del liceo scientifico.
Un cerchio di raggio $r_0$ è inscritto in un quadrato.
Quando si raddoppia il lato del quadrato, il raggio si dimezza.
Trovare la funzione della differenza delle due aree (area quadrato-area cerchio) $A(r)$ al variare di $0<r<r_0$ sotto l'ipotesi che il lato cresca in modo inversamente ...
Siano $a;b;c;d$ quattro numeri real itali che:
$a =\sqrt(44+\sqrt(71+a));b =\sqrt(44+\sqrt(71-b));c =\sqrt (44-\sqrt(71+c));d =\sqrt(44-\sqrt(71-d))$
Determinare il prodotto $abcd$
Dimostrare che è impossibile ricoprire l'intero piano con triangoli in modo tale che ad ogni vertice si incontrino cinque triangoli.
Cordialmente, Alex
siano $a, b, c$ reali tali che
$a+b+c = 0, a^2+b^2+c^2 = 128, a^5+b^5+c^5 = 28800$. Quanto vale $a^3+b^3+c^3$?
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