Triangoli

[axpgn]

Siano dati $3n$ punti del piano, in modo tale che non ce ne siano mai tre allineati.

È sempre possibile usare tutti questi punti per formare $n$ triangoli disgiunti, non sovrapposti e neppure contenuti uno nell'altro?



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Direi di sì.

Provenendo dall'infinito, sposto una retta fino a che passa per un punto (che chiamo $A_1$) lasciando tutti gli altri dalla stessa parte. Faccio ora ruotare la retta intorno ad $A_1$; dato che non ci sono tre punti allineati, tutti gli altri punti sono incontrati uno alla volta e li chiamo ordinatamente $A_2,A_3,... A_(3n)$. I triangoli $A_1A_2A_3$, $A_4A_5A_6$ eccetera soddisfano alle condizioni date.
Ferma restando la possibilità di disegni esteticamente migliori.

[axpgn]

Benissimo!

La mia dimostrazione è leggermente diversa ...

Per ogni coppia di punti passa una sola retta; dato che i punti sono in numero finito anche le coppie lo sono e quindi anche le rette relative; ne consegue che posso prenderne una diversa da tutte quante.
La prendo lontana da tutti i punti (cioè in modo tale che i punti stiano tutti dalla stessa parte) e la avvicino a questi, mantenendo costante la direzione.
Ad un certo momento, toccherà il primo punto, poi il secondo e poi il terzo; nello spazio tra il terzo e il quarto, lascio una copia della mia retta che continuo a spostare, quindi toccherà il quarto, poi il quinto, poi il sesto; anche nello spazio tra il sesto e il settimo lascio una copia della retta e proseguo in tal modo fino a passare il 3n-esimo punto.
Così facendo ho suddiviso il piano in $n$ strisce distinte, ciascuna contenente tre soli punti che sono i vertici di ognuno degli $n$ distinti triangoli.

Nota: lo stessa proposizione vale per i quadrilateri, i pentagoni, ecc.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Avevo pensato ad una soluzione simile alla tua, ma ...

Parli di secondo, terzo e quarto punto, ma la retta in questione può toccarne due contemporaneamente ed allora non si sa bene come numerarli. Forse la cosa non ha importanza, ma ho preferito pensare alla rotazione, eliminando del tutto questo problema.

[axpgn]

@giammaria

"giammaria":... ma la retta in questione può toccarne due contemporaneamente ed allora non si sa bene come numerarli. ...

Questo non può accadere mai, la retta scelta ne toccherà sempre uno alla volta.
Per il motivo che ho detto qui

"axpgn":Per ogni coppia di punti passa una sola retta; dato che i punti sono in numero finito anche le coppie lo sono e quindi anche le rette relative; ne consegue che posso prenderne una diversa da tutte quante.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Vero; non avevo notato quella frase.