Piastrelle

[axpgn]

Un cartone quadrato con il lato che misura $2$ pollici e mezzo viene gettato su un pavimento tassellato come in figura.

Assumendo che lo schema si ripeta (un quadrato vuoto, un quadrato diviso in quattro, un quadrato vuoto, un quadrato diviso in quattro e così via sia in orizzontale che in verticale) quali sono le probabilità che il cartone quadrato non tocchi le righe?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

...

[axpgn]

È poco perché ho sbagliato nello scrivere il testo

Non è il lato da $2$ pollici e mezzo ma l'area da $2$ pollici quadrati e mezzo ... sorry


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

...

[axpgn]

Troppo complicato per me
Comunque c'è una maniera più semplice per giungere alla soluzione (anche se mi viene il dubbio che tale metodo presupponga di aggiungere un "sicuramente mai" alla frase "il cartone quadrato non tocchi sicuramente mai le righe" - è una mia interpretazione, eh)
Proponi un numero, e vediamo se collimiamo

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

...

[axpgn]

Al di là del risultato, che è sostanzialmente diverso dal mio, quello che non mi convince è il fatto che le tue due probabilità quasi coincidano mentre dovrebbero essere molto differenti.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ok,
rifaccio i conti fatti bene.
Sempre che il ragionamento sia giusto.


Questa funzione

$f(\alpha) = (1-\sqrt2 A/B cos \alpha)^2$

da la proporzione dei successi (piastrella nera che non tocca i bordi) diviso il totale dell'area.

Si tratta di trovare il valor medio:

$(\int_0^{\pi/4}(1-\sqrt2 A/B cos \alpha)^2\ d\alpha)/ (\pi /4)$

Poi si fa la media tra la zona con il quadrato bianco grande ($B=4$) e piccolo ($B=8$)

$1/2[(\int_0^{\pi/4}(1-\sqrt2 \sqrt2.5/4 cos \alpha)^2\ d\alpha)/ (\pi /4)+(\int_0^{\pi/4}(1-\sqrt2 \sqrt2.5/8 cos \alpha)^2\ d\alpha)/ (\pi /4)] = 1/2( 0.249138 + 0.560638 ) $
$= 0,404838$

https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... +to+pi%2F4
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... +to+pi%2F4

[axpgn]

A parte quello che penso sia un piccolo refuso (hai scambiato grande con piccolo), penso che i tuoi conti siano corretti.
Spiego cosa voglio dire con questo "corretti".
Il testo che ho postato è esattamente uguale all'originale ma penso che l'autore sottintendesse "indipendentemente dall'inclinazione (rispetto alle linee del pavimento) assunta dal cartone".
Con questa interpretazione per calcolare la probabilità è sufficiente determinare l'area del quadrato concentrico a quello da 8 (o da 4 nel caso "piccolo") e distante da questo mezza diagonale del cartone.
Così facendo la probabilità è del $35%$ circa

Cordialmente, Alex