Distribuire gli esponenti

[axpgn]

Si può osservare che [size=150]$(3+3/8)^(2/3)=9/4=(3+3/8)2/3$[/size]


Quante altre istanze ci sono per le quali vale la seguente uguaglianza?

[size=150]$(a+b/c)^(m/n)=(a+b/c)(m/n)$[/size]


Cordialmente, Alex

[@melia]

$a, b, c, m, n$ tutti numeri naturali? O ci possono essere anche interi negativi?

[axpgn]

Solo naturali.

Se poi vuoi estendere, vedi tu ...

[axpgn]

Un'altra è [size=150]$(2+1/4)^(3/2)=27/8=(2+1/4)*(3/2)$[/size]

Quante altre istanze ci sono?



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Non ho la soluzione completa, ma la risposta alla domanda "Quante altre istanze ci sono per le quali vale la seguente uguaglianza?" è certo ""Infinite".

Non interessano i valori di $a,b,c$ separatamente, ma solo quello di $a+b/c$, quindi per ogni terna risolutiva vanno bene anche le terne che danno quella stessa somma. Ad esempio, nel primo esempio fatto il $3+3/8$ può essere sostituito da $2+22/16$ o da $-4+59/8$, limitandomi a qualche intero.
Analogamente, non interessano $m,n$ separatamente, ma solo $m/n$.
Riformulerei la domanda chiedendo per quante $x,y$ razionali vale la $x^y=xy$. Ho scritto "razionali" perché è evidente che, con opportune limitazioni sulle incognite, questa equazione ha infinite soluzioni in campo reale.
In campo razionale, è' ovvio che con $y=1$ ci può essere qualsiasi $x$; nella domanda escludo questo caso

[axpgn]

"giammaria":Riformulerei la domanda chiedendo per quante $ x,y $ razionali vale la $ x^y=xy $.

Esatto, in pratica è così.
E $y=1$ è una soluzione come giustamente dici

Ma quante altre ne esistono?
Infinite o no?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Be', continuano ad esserci infinite soluzioni banali.
Un primo gruppo è $x=0$ (e quindi $y>0$ perché lo zero può essere elevato solo ad esponenri positivi).
Escludendo sia questo caso che la $y=1$, dall'equazione ricaviamo $x^(y-1)=y->x=y^(1/(y-1))$ e siamo certo in campo razionale se l'esponente è il numero intero $k!=0$: altre infinite soluzioni
Resta il dubbio su quante siano le soluzioni non banali..

[axpgn]

Esatto

Basta prendere $y=1+1/n$ e $x=(1+1/n)^n$ dove $n$ è un intero diverso da $0$ e $-1$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Sarebbe bene completare dimostrando che non ci sono altre soluzioni.

Negli ultimi post abbiamo considerato che $1/(y-1)$ sia intero, ma potrebbe anche essere la frazione non semplificabile $p/q$ (con $q!=+-1$), a condizione che contemporaneamente si abbia $y=z^q$, con $z$ razionale: infatti in questo caso avremmo $x=z^p$.
Ho trovato una dimostrazione del fatto che questo è impossibile, ma non la posto perché è brutta.