Radici di un polinomio di terzo grado particolare

[Studente Anonimo]

È fatto noto che un polinomio di terzo grado a coefficienti reali che possiede discriminante negativo allora possiede una radice reale \( \alpha \) e due radici complesse, di cui una è la coniugata complessa dell'altra, denotiamole quindi rispettivamente con \( \beta \) e \( \overline{\beta} \).
Consideriamo dunque il polinomio \[ p(x) = ax^3 + b x^2 + cx + d \]
avente discriminante negativo e supponiamo inoltre che i coefficienti siano tali che soddisfino
\[ d (d-b)+a(c-a) > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \]
\[ ad-(a+b)(a+b+c) < 0 \ \ \ \ \ \ \ (2)\]
\[ ad+(a-b)(a-b+c) > 0 \ \ \ \ \ \ \ (3) \]
Dimostra che
\[ \left| \beta + \overline{\beta} \right| < 1 < \beta \overline{\beta} \]

[Studente Anonimo]

Siccome nessuno ecco la soluzione

Dimostriamo qualcosa di più forte, ovvero che (1), (2) e (3) sono condizioni necessarie e sufficienti per \( \left| \overline{ \beta} + \beta \right| < 1 < \beta \overline{\beta} \) o equivalentemente abbiamo che
\[ \left| \overline{ \beta} + \beta \right| < 1 < \beta \overline{\beta} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta \overline{\beta} -1> 0 \\
\beta + \overline{\beta} -1 < 0 \\
\beta + \overline{\beta} + 1 > 0
\end{matrix}\right. \]
Poiché \( \beta \) e \( \overline{\beta} \) sono uno il coniugato complesso dell'altro e \( \alpha \) è reale abbiamo che
\[ (\alpha \beta -1 )(\alpha \overline{\beta} -1) = (\alpha \beta -1 )\overline{(\alpha \beta -1)} = \left| \alpha \beta -1 \right| > 0 \]
Pertanto la condizione \( \beta \overline{\beta} -1 > 0 \) è equivalente a
\[ (\alpha \beta -1) ( \alpha \overline{\beta} -1 )(\beta \overline{\beta} -1) > 0 \]
Espandendo il prodotto otteniamo
\[ (\alpha \beta \overline{\beta})^2 + \alpha \beta \overline{\beta}(\alpha + \beta + \overline{\beta}) - (\alpha \beta + \alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\beta}) -1 > 0 \]
Moltiplicando per \(a^2 \) e usando le formule di Vieta abbiamo che questa condizione è equivalente a
\[ d(d-b)+ a(c-a) > 0 \]
In modo del tutto analogo otteniamo che le altre condizioni sono equivalenti a
\[ (\alpha + \beta - 1)(\alpha + \overline{\beta} -1)(\beta + \overline{\beta} - 1) < 0 \]
e
\[ (\alpha + \beta + 1)(\alpha + \overline{\beta} +1)(\beta + \overline{\beta} + 1) > 0 \]
e dunque abbiamo in modo analogo che sono rispettivamente equivalenti alle condizioni
\[ ad - (a+b)(a+b+c) < 0 \]
e
\[ ad+(a-b)(a-b+c) > 0 \]