Diofantea

[axpgn]

Mostrare che la seguente equazione diofantea $1/(x_1)+1/(x_2)+...+1/(x_n)+1/(x_1x_2...x_n)=1$ ha almeno una soluzione per ogni $n$.


Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Se fino ad un certo $n$ ho almeno una soluzione $(x_1,...,x_n)$, poi con $n+1$ mi basta risolvere
$\left(1/(x_1)+1/(x_2)+...+1/(x_n)+1/(x_1x_2...x_n)\right) + 1/(x_{n+1}) + 1/(x_1x_2...x_nx_{n+1}) - 1/(x_1x_2...x_n) = 1$.
Tenendo la n-upla che risolveva il caso precedente mi basta trovare $x_{n+1}$ tale che
$1/(x_{n+1}) + 1/(x_1x_2...x_nx_{n+1}) - 1/(x_1x_2...x_n) = 0$.
Lo trovo perché
$x_{n+1}:= x_1x_2...x_n + 1$ è sempre intero e soddisfa.

Con $n=1$ ho la soluzione $x_1=2$.

[axpgn]

Spoiler, please!!!!!


Grazie.


Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Scusa, aggiunto ora. Che ricordi questa sezione

[axpgn]

[axpgn]

Soluzione OK!


Cordialmente, Alex