Divisioni

[axpgn]

- Sia $k$ il numero degli interi positivi che danno un resto di $24$ quando dividono $4049$. Trovare $k$

- Determinare il più grande intero che divide $364, 414, 541$ lasciando come resti, rispettivamente, $r_1, r_2, r_3$ e tali che sia $r_2=r_1+1$ e $r_3=r_2+1$


Cordialmente, Alex

[@melia]

La scomposizione in fattori primi di $4049-24=4025$ è $5^2*7*23$ ma di questi solo il $25$ può dare come resto 24, bisogna considerare quindi le combinazioni
$5*7=35$
$5*23=115$
$7*23=161$
$5^2*7=175$
$5^2*23= 575$
$5*7*23=805$ e, infine,
$5^2*7*23=4025$
In totale $k=8$

[axpgn]

Bene la prima!


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Per la seconda domanda, l'intero è x=7.

Indicando con $q_i$ i quozienti, ho

${(364=xq_1+r_1),(414=x q_2+r_2),(541=x q_3+r_3):}$

Sottraggo membro a membro ogni equazione dalla successiva; ricordando che $r_2-r_1=r_3-r_2=1$ ottengo

${(414-364=x(q_2-q_1)+1),(541-414=x(q_3-q_2)+1):}->{(49=x(q_2-q_1)),(126=x(q_3-q_2)):}$

Deve quindi essere $x=MCD(49,126)=7$

Non era neanche necessario precisare che volevamo l'intero più grande, dato che ce n'è uno solo. Infatti gli unici divisori comuni a 49 e 126 sono 1 e 7; 1 non è accettabile perché tutti i resti varrebbero zero.

[axpgn]

Bene anche la seconda!

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@melia
[ot]Per curiosità, hai mai usato qualcuno dei problemi che hai visto qua nelle tue classi? [/ot]


Cordialmente, Alex

[@melia]

Un paio di volte.