Minimo Comune Multiplo

[axpgn]

Dati alcuni interi positivi non eccedenti una fissata costante intera $m$, provare che , se il minimo comune multiplo di ogni coppia dei numeri dati è maggiore di $m$, allora la somma dei reciproci dei numeri dati è minore di $3/2$.


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Un piccolo aiuto? Le poche idee che ho avuto finora non mi portano da nessuna parte.

[axpgn]

Gli $n$ numeri dati sono tutti diversi; se ce ne fossero due uguali, il loro m.c.m. sarebbe pari a loro e quindi non maggiore di $m$ come vuole il testo.
Per lo stesso motivo tra i numeri dati non può esserci l'$1$ (a meno che sia l'unico numero dato però in tal caso la tesi sarebbe banalmente vera)

Hint: Per ogni numero $n_i$ ci sono $\lfloor m/n_i \rfloor$ multipli di $n_i$ minori o uguali a $m$; questi fra loro sono ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Grazie. Con qualche riserva, avevo già pensato a quello che suggerisci ma non ne avevo ricavato nulla; ora che so che quella è la stradfa giusta ci mediterò ancora.

[giammaria2]

Mi arrendo; il mio unico risultato è la dimostrazione che se uno dei numeri dati è 2, allora la somma degli inversi è minore di 1. E anche questo con un ragionamento molto grezzo, che non ho cercato di migliorare perché non era quanto richiesto e, soprattutto, la sua generalizzazione non portava a risultati apprezzabili.

[axpgn]

Riprendo da dove ero rimasto ...

Per ogni numero $x_i$ ci sono $\lfloor m/x_i \rfloor$ multipli di $x_i$ minori o uguali a $m$; questi sono tutti diversi fra loro perché se ce ne fossero due uguali fra loro per $i != j$ allora il m.c.m. fra questi due numeri non sarebbe maggiore di $m$.

Da ciò consegue che $\lfloor m/x_1 \rfloor + \lfloor m/x_2 \rfloor + ... \lfloor m/x_n \rfloor <= m-1$ (perché l'$1$ non c'è)

Siccome $m/x_i < \lfloor m/x_i \rfloor + 1$ allora abbiamo $m(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)< m-1+n$ da cui $1/x_1+1/x_2+...+1/x_n< 1+(n-1)/m$ ovvero a questo punto il problema si riduce a dimostrare che $(n-1)/m<1/2$

Lo lascio così ancora un po' ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ultima parte ...

È rimasto da dimostrare $(n-1)/m<1/2$.

Per ipotesi sappiamo che $n<=m$.
Abbiamo poi appurato che il numero $1$ non può esserci tra gli $n$ numeri.
Inoltre negli $n$ numeri può essercene solamente uno che ha solo divisori pari ($2, 4, 8, ...$) perché altrimenti il loro m.c.m. non sarebbe maggiore di $m$.
Quindi tutti gli altri hanno almeno un divisore dispari e tra questi divisori dispari uno è il massimo (un massimo per ciascun numero).
Tutti questi massimi divisori dispari però devono essere diversi altrimenti ricadiamo nel solito caso ovvero se due numeri condividessero lo stesso massimo divisore dispari, il loro m.c.m. non sarebbe maggiore di $m$ (es. $3, 12$ o $6, 24$)
Ne consegue che $n<=(m+1)/2$ da cui $n-1/2<=m/2\ ->\ (n-1/2)/m<=1/2$ ma $(n-1)/m<(n-1/2)/m$ perciò si conclude che $(n-1)/m<1/2$

Cordialmente, Alex