Potenza di un numero complesso

[gio73]

Recentemente mi è stato posto un quesito interessante non tanto nella risposta in sé ma quanto al modo per ottenerla

Abbiamo un numero complesso dove conosciamo la parte immaginaria $2i$, ma non la parte reale, chiamiamola $x$, quindi

$x+2i$

Eleviamo il nostro complesso alla quarta

$(x+2i)^4$

Otteniamo un numero reale, quali possono essere i valori di $x$?

Come ho già detto la parte interessante è la strategia risolutiva.

[axpgn]

Cosa vuoi ottenere di preciso? Perché si risolve abbastanza banalmente ma non credo che sia quello che tu voglia ...

[@melia]

Vediamo se centro il problema.

Se un numero complesso elevato alla quarta potenza diventa reale allora deve formare con l'asse delle ascisse un angolo che moltiplicato per 4 finisca sulle ascisse quindi $theta= 0, pi/4, pi/2, 3/4 pi, pi$
Siccome c'è la componente immaginaria sono da scartare $0$ e $pi$, restano
$pi/4$ con $x=2$,
$pi/2$ con $x=0$ e
$3/4 pi$ con $x= -2$
P.S. ho visto questa soluzione subito dopo aver sviluppato la potenza quarta del binomio e aver annullato la componente immaginaria

[gio73]

Brava amelia
Hai centrato il punto
Ti sembra utile per gli studenti?

Con la forma algebrica diventa più contaccioso.

[@melia]

"gio73":
Con la forma algebrica diventa più contaccioso.

Certamente.
È il lavoro che si fa scrivendo i numeri complessi in forma goniometria, applicabile anche a chi ne sa poco o niente di goniometria.

Rilancio con $(x+2i)^6$, trovare $x$ in modo che il risultato sia un numero reale.

[qualcuno4]

$(x+2i)^{4}=\overline{(x+2i)^{4}}=(x-2i)^{4}$

$(x+2i)^{2}=\pm(x-2i)^{2}$

Si scinde nelle quattro equazioni:

1) $x+2i=x-2i$

2)$x+2i=-(x-2i)$

3)$x+2i=i(x-2i)$

4)$x+2i=-i(x-2i)$

La 1) non ha soluzioni

La 2) ha soluzione $x=0$

La 3) ha soluzione $x=2$

La 4) ha soluzione $x=-2$

[gio73]

@melia

$x=0$

$x=2/sqrt3$

$x=2sqrt3$

[@melia]

@gio73

ne mancano 2, quelli del secondo quadrante,
$x= -2/sqrt3$ e
$x= -2sqrt3$