Sistema

[axpgn]

Risolvere il seguente sistema di $100$ equazioni in $100$ incognite.

${(x_1+x_2+x_3=0),(x_2+x_3+x_4=0),(...),(x_98+x_99+x_100=0),(x_99+x_100+x_1=0),(x_100+x_1+x_2=0):}$


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Forza, ragazzi, che non è difficile!
E se, con la stessa logica, fosse stato un sistema di 102 equazioni in 102 incognite?

[Folpo13]

L'unica soluzione è $x_1=x_2=...=x_100=0$

Dall'ultima e dalla penultima riga del problema si ricava infatti che $x_100=x_3$. Andando a ritroso $x_99=x_2$ e $x_98=x_1$ e così via. Noto per induzione che ogni $x_(3n)=x_2$ e $x_(3n+1)=x_3$ ma anche $x_(3n+2)=x_1$ con $n\inNN$ ma questo vuol dire che $x_3=x_2$ e $x_2=x_1$. Il problema diventa quindi $3x_1=0$ da cui $x_1=0$.

[Folpo13]

"giammaria":Forza, ragazzi, che non è difficile!
E se, con la stessa logica, fosse stato un sistema di 102 equazioni in 102 incognite?

In questo caso dovrebbero esserci infinite soluzioni.
Ragionando come prima diventa $x_102=x_99=...=x_3$
$x_101=x_98=...=x_2$
$x_100=x_97=...=x_1$

E le soluzioni di $x_1+x_2+x_3=0$ sono infinite.

[axpgn]

Però non ho ben capito il discorso sull'induzione ...

Comunque io avrei fatto così ... sommo membro a membro tutte le equazioni e ottengo $3(x_1+x_2+...+x_100)=0$ perciò $(x_1+x_2+x_3)+...+(x_97+x_98+x_99)+x_100=0$ da cui $0+0+...+0+x_100=0$ ovvero $x_100=0$. Analogamente per le altre $99$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Il mio ragionamento era un po' diverso ma la conclusione non cambia.

Da ogni equazione sottraggo la successiva, lasciando invariata l'ultima. Dalle queste prime 97 equazioni ottengo subito $x_1=x_4=x_7=...=x_100$ e simili; basta ora sostituire nelle ultime 3 equazioni.

[@melia]

Stavo cercando un modo semplice per dimostrare che se il numero di equazioni non è multiplo di 3 la matrice dei coefficienti ha determinante diverso da 0 e quindi il sistema è omogeneo determinato con una soluzione unica, formata da tutti 0, se è multiplo di 3, invece, il determinante si annulla e il sistema risulta indeterminato.
Avevo anche trovato una via, ma non ho avuto modo di scriverla perché troppo lunga, stavo cercando qualcosa di meglio.