Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ una funzione:
1) positiva per ogni $x \in \mathbb{R}$
2) derivabile due volte
3) Esiste $M>0$ tale che $f''(x) \leq M$ per ogni $x \in \mathbb{R}$
Dimostrare che
$f'(x) < \sqrt{2Mf}$
Approfitto per esprimere un mio parere riguardo al forum, in particolare a questa sezione... Ho notato un calo di partecipazione rispetto a quando l'ho lasciata due anni fa...
If a curve has the property that every chord joining every two points on it meets the curve at the same angle at the two points, is the curve always a circle, or are there other curves with this same property?
[size=85]Nota: Ho preferito lasciarlo in originale.[/size]
Cordialmente, Alex
Sia data la seguente sequenza di $10$ cifre : $1110001011$
Come si può notare, ci sono otto sezioni di tre cifre consecutive e ciascuna è la rappresentazione binaria di uno degli otto numeri da zero a sette e ciascun numero è presente una e una sola volta.
Per ogni intero positivo $n$ è possibile ottenere una sequenza analoga nel modo seguente:
Inizialmente si scrivono $n$ cifre $1$, poi in ognuno dei posti successivi si mette lo ...
Senza usare la calcolatrice determinare chi è più grande tra
$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ e $\pi/4$
Trovare tutti i numeri interi positivi $n$ tali che
$a^{n+1} \equiv a \mod n$
Per ogni $a \in \mathbb{Z}//n\mathbb{Z}$
Trovare tutti i numeri interi positivi \(n\) tale che se tutti i numeri primi minori di \(n\) sono \(2, p_0, \ldots, p_k \leq n \), allora \( n=p_j + p_{k-j} \) per ogni \(0\leq j \leq k \).
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Studente Anonimo
10 set 2022, 13:00
Anche la Matematica ha i suoi buchi neri, eccone due esempi ...
[size=150]$15$[/size]
Prendete un qualsiasi numero naturale maggiore di uno e scrivete tutti i suoi divisori, compresi $1$ e il numero stesso.
Poi fate la somma delle cifre di tutti questi divisori.
Iterate finché un numero non si ripeterà continuamente: è il $15$.
Qualcuno ha idea del perché accade?
$\text(FOUR)$
Prendete qualsiasi numero naturale e contate quante sono le ...
Dato $n$ intero positivo, denotiamo con $a_1$ il numero di soluzioni $(x,y)$, in interi non negativi, dell'equazione $x+2y=n$, con $a_2$ il numero di soluzioni $(x,y)$, in interi non negativi, dell'equazione $2x+3y=n-1$, con $a_3$ il numero di soluzioni $(x,y)$, in interi non negativi, dell'equazione $3x+4y=n-2$ e così via fino a denotare con $a_n$ il numero di soluzioni ...
The Happy Ending:
Dimostrare che qualunque insieme di 5 punti nel piano in posizione generale, ovvero tale che non ci sono triplette di punti collineari, contiene almeno 4 punti che formano i vertici di un quadrilatero convesso.
Per una generalizzazione The Happy Ending, Parte II
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Studente Anonimo
22 ago 2022, 16:40
Quanti punti, come minimo, sono necessari affinché disponendoli sul piano in un modo qualsiasi (escludendo quelli con più di due punti allineati), sia sempre possibile formare un quadrilatero convesso?
E quanti necessitano, come minimo, per poter sempre formare un pentagono convesso?
Dimostrazione?
Cordialmente, Alex
Supponiamo di avere quattro interi $a, b, c, d$ non tutti e quattro uguali.
Partendo dalla quaterna $(a, b, c, d)$ rimpiazziamola ripetutamente con la quaterna $(a-b. b-c, c-d, d-a)$.
Allora almeno uno dei quattro numeri della quaterna diventerà arbitrariamente grande.
Cordialmente, Alex
Ad uno studente delle Superiori era stato richiesto di risolvere la seguente equazione:
$sqrt(3x-2)-sqrt(2x-3)=1$
La sua risposta è stata:
Elevo al quadrato entrambi i membri, ottengo $3x-2-2x-3=1$, quindi $x=6$
La soluzione, in effetti, è corretta.
Dimostrare che esistono infinite quaterne di numeri reali $a, b, c, d$ per le quali il metodo appena visto conduce alla corretta soluzione dell'equazione irrazionale $sqrt(ax-b)-sqrt(cx-d)=1$
Cordialmente, Alex
Di recente mi è venuto in mente questo teorema e mi è venuta voglia di proporvelo come quesito dimostrativo. Spero sia più o meno all'altezza degli altri, ho voluto proporlo anche perché di Geometria ne ho visti pochi.
Siano $AB$ e $CD$ due segmenti paralleli e non congruenti. Dimostrare che i loro punti medi, il punto d'intersezione delle rette $AC$ e $BD$ e quello delle rette $AD$ e $BC$ sono allineati.
Algoritmo:
Iniziando da un qualsiasi intero positivo $n$, il primo passo è trovare l'intero positivo $n_1$ tale che sia multiplo di $n-1$ e sia $n_1>=n$ e sia il più vicino a $n$.
Il secondo passo è trovare l'intero positivo $n_2$ tale che sia multiplo di $n-2$ e sia $n_2>=n_1$ e sia il più vicino a $n_1$.
Il terzo passo è trovare l'intero positivo $n_3$ tale che sia multiplo di ...
Pongo un quesito che mi ha fatto riflettere...
Supponiamo di avere un sacchetto contenente tutti i numeri naturali. Qual è la probabilità di estrarre 100?
In teoria 0, ma in pratica?
Stiamo dicendo che un evento possibile nella realtà ha probabilità 0.
Ho dato una spiegazione a questa cosa accettando il fatto che l'ipotesi dalla quale parto non è fattibile, non esiste il concetto di infinito nella realtà.
Partendo da principio che nella natura un evento possibile ha probabilità non ...
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