Approssimare per bene

[axpgn]

Supponiamo che il numero razionale non negativo [size=150]$r$[/size] sia un'approssimazione di $sqrt(2)$.

Dimostrare che $(r+2)/(r+1)$ è sempre una migliore approssimazione.



Cordialmente, Alex

[Folpo13]

$(x+2)/(x+1)$ è un approssimazione migliore di $x$ se considerando il grafico della funzione $f(x)=(x+2)/(x+1)$ è sempre più "vicino" alla funzione $y=sqrt(2)$ rispetto al grafico della funzione $g(x)=x$

Per farlo basta dimostrare che la funzione $k(x)=|x-sqrt(2)|-|(x+2)/(x+1)-sqrt2|$ è sempre positiva per $x>0$

Considero due casi:
1.
$xk(x)=(x+2)/(x+1)-x$
Pongo $k(x)>0$
$(2-x^2)/(x+1)$. Il denominatore è sempre positivo (per $x$ positivo) e il numeratore è positivo per $x
2.
$x>sqrt2$
Il caso è simmetrico a quello di prima e viene quindi che $x>sqrt2->k(x)>0$

Quindi la funzione $k(x)$ è sempre positiva per $x\inR^(+)-{sqrt2}$

Forse c'è un modo più elegante e semplice, ma mi è venuto in mente questo

[axpgn]

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Do anche un'altra risposta, che mi sembra più semplice.

Pongo $r=sqrt 2+x$, con $x>=-sqrt 2$. Ho allora

$r_1=(r+2)/(r+1)=(2+sqrt 2+x)/(1+sqrt 2+x)=(sqrt 2(sqrt 2+1)+x)/(sqrt 2+1+x)=(sqrt 2(sqrt 2+1+x)-sqrt2 x+x)/(sqrt 2+1+x)=$
$" "=sqrt2-x(sqrt2-1)/(sqrt 2+1+x)$
Nell'ultima frazione, stante la $x>=-sqrt 2$, il denominatore è maggiore o uguale ad 1, mentre il numeratore è minore di $1/2$, quindi la frazione è minore di $1/2$: la distanza di $r_1$ da $sqrt2$ è più che dimezzata rispetto a quella di $r$.
Non ho usato l'ipotesi che $r$ fosse razionale: forse c'è una soluzione anche più veloce che la usa.

[axpgn]

Posto anche la mia ...

$|(r+2)/(r+1)-sqrt(2)|=|((r+2)-sqrt(2)(r+1))/(r+1)|=((sqrt(2)-1)|r-sqrt(2)|)/(r+1)<=(sqrt(2)-1)|r-sqrt(2)|<|r-sqrt(2)|$

Cordialmente, Alex