Ottusangolo

[axpgn]

La probabilità che due numeri positivi, $x$ e $y$, entrambi minori di $1$, scelti casualmente, insieme all'unità, formino una terna $(x,y,1)$, tale da produrre un triangolo ottusangolo è $(pi-2)/4$.

Dimostrazione?


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

La terna rappresenta la lunghezza dei tre lati?

[axpgn]

Sì, certamente. I tre numeri rappresentano le misure dei lati.

[giammaria2]

Io trovo un risultato completamente diverso, e cioè $(3 pi)/(2(4 pi-3 sqrt 3))$. Coincide con quello di Folpo13?

[axpgn]

Folpo13 ha solo chiesto se quella terna rappresentasse i lati.
Non ha ancora risposto.

[axpgn]

@giammaria
Peraltro quel valore mi sembra esagerato ad occhio.
Ho fatto anche una simulazione "spannometrica" e concorda abbastanza con quello che ho postato all'inizio.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Dimostrazione "geometrica" cartesiana.

Se $0 \le x \le 1$ , idem per $y$, quadrato unitario nel 1° quadrante

In un triangolo rettangolo $x^2+y^2=1$, se ottusangolo $x^2+y^2 \lt 1$

Il quarto del cerchio ha area $\pi/4$ da cui sottraggo l'area del triangolo $x+y \le 1$ che vale $1/2$

[giammaria2]

Ecco invece il mio ragionamento; se è sbagliato, dov'è l'errore?

ABC è il triangolo, con $AB=1; AC=x; BC=y$.
Poiché $AC<1; BC<1$, C deve essere nell'intersezione fra i cerchi di raggio 1 e centri in A, B; limitando l'attenzione ad un solo semipiano, deve essere in un triangolo mistilineo, la cui area è la somma dei due settori di ampiezza 60° e centri A, B, diminuita dell'area del triangolo equilatero (che è stata contata due volte nella precedente somma). Quindi
$S_("possibile")= 2*1/6pi*1^2-sqrt3/4*1^2=pi/3-sqrt3/4=(4pi-3sqrt3)/12$
Il triangolo è ottusangolo se C è interno al cerchio di diametro AB; ricordando che considero un solo semipiano, ottengo
$S_("favorevole")=1/2pi(1/2)^2=pi/8$
Il rapporto fra queste due aree dà il risultato che ho indicato.

[axpgn]

@veciorik
Perfetto! Bella dimostrazione, semplice ed elegante!


@giammaria
Non sono sicuro (perché non ho del tutto compreso il tuo ragionamento) ma mi pare che tu stia restringendo i casi possibili con vincoli che invece sono quelli dell'ottusangolo (non so se mi spiego )


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Non dire che io "stia restringendo i casi possibili con vincoli che invece sono quelli dell'ottusangolo".

Le mie prime righe sono:
"ABC è il triangolo, con AB=1;AC=x;BC=y.
Poiché AC<1;BC<1, C deve essere nell'intersezione fra i cerchi di raggio 1 e centri in A, B"
ed è evidente che $hatC$ può anche essere acuto. Si ha certo $hatC>60°$, ma questo è ovvio, dato che opposto al lato maggiore si ha l'angolo maggiore

.

[axpgn]

Se non vuoi che te lo dica, non te lo dico
Ma sta di fatto che lo "spazio campionario" (o come cavolo si chiami) è un'area di misura $1$
Il problema chiede di scegliere casualmente due numeri positivi minori di $1$ e provare a costruire un triangolo ottusangolo, usandoli come lati e il terzo lato pari a $1$.
Ora, se tu prendi tutte le coppie di numeri positivi minori di $1$ e le associ ad un punto sul piano cartesiano, ottieni un quadrato di vertici $(0,0), (0,1), (1,1), (1,0)$ e di area unitaria.
Come fai ad ottenere una area possibile diversa da $1$?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Stiamo parlando di triangoli, quindi c'è anche la limitazione $x+y>1$: lo "spazio campionario" non è un quadrato bensì il triangolo di vertici $ (0,1), (1,1), (1,0)$.
Anche così, i risultati continuano a differire e penso che forse nel mio ragionamento le $x,y$ non sono equiprobabili. Non lo vedo però chiaramente, quindi non mi soddisfa.

[axpgn]

"giammaria":Stiamo parlando di triangoli, quindi c'è anche la limitazione $x+y>1$

Certo ma questo viene "dopo".
Ovvero tu stai calcolando la percentuale di ottusangoli su tutti i triangoli (limitati a quelle condizioni)
Ma il problema non chiede questo ...
Il quesito chiede di prendere due numeri positivi minori di uno a caso e quante di queste coppie (insieme all'$1$) formino un ottusangolo, ma non di prendere due numeri minori di uno a caso E che insieme all'$1$ formino un triangolo e quindi poi determinare quanti di questi siano ottusangoli.
Non c'è quella condizione aggiuntiva ( E )

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Vero. Fraintendendo il testo, io cercavo la probabilità che il triangolo fosse ottusangolo, ma ne davo per scontata l'esistenza.

[axpgn]

[veciorik]

"giammaria":Ecco invece il mio ragionamento; se è sbagliato, dov'è l'errore?
... omissis ...
Il rapporto fra queste due aree dà il risultato che ho indicato.

Un'area misura la probabilità se hai due variabili e le usi come coordinate di un piano cartesiano.
Tu invece metti $(x,y)$ in un sistema "bipolare" attribuendo probabilità diverse a valori diversi delle variabili.

[giammaria2]

Grazie

[axpgn]

Io invece non ho capito cosa intende veciorik
O meglio, ho capito il concetto di "probabilità diverse a valori diversi delle variabili" ma cosa si intende per "sistema bipolare"?
Thanks

Cordialmente, Alex

[veciorik]

"bipolare" tra virgolette è un neologismo basato sul fatto che le variabili $ x \ y $, i lati, sono riferite ai due estremi (poli) di $AB$

[axpgn]

Ah, ok