Decagoni inscritti

[axpgn]

Suddividiamo una circonferenza in dieci parti uguali; se uniamo ogni punto di divisione con il successivo otteniamo un decagono regolare, se invece lo colleghiamo con ogni terzo punto otteniamo un decagono stellato.

Mostrare che la differenza tra le lunghezze dei lati di questi decagoni è pari al raggio del cerchio circoscritto.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Siano $ABCDEF$ 6 vertici consecutivi del 10-gono inscritto in un cerchio di raggio $1$.

$AB$ ha lunghezza $2sin(\pi/10)$, si determina facilmente.

L'angolo $\hat{BAC} = \pi / 10$ determina il fatto che $AC = 4\sin(\pi/10)\cos(\pi/10) = 2\sin(\pi/5)$, basta fare la proiezione di $AB$ su $AC$.

Il triangolo $ACF$ e' rettangolo in $C$, siccome $AF$ e' un diametro del cerchio esterno.

Con Pitagora: $CF = \sqrt(2^2-(2\sin(\pi/5))^2) = 2cos(\pi/5)$.

Il quesito chiede di mostrare che ad es. $CF - AB = 1$, ovvero

$2cos(\pi/5) - 2\sin(\pi/10) = 1$

Con la formula di bisezione del seno di un angolo $\sin (x/2) = \sqrt((1 - \cos x) / 2)$

si riscrive l'uguaglianza come (*)

$2cos(\pi/5) - 2\sqrt((1 - \cos (\pi/5)) / 2) = 1$

E' noto che $2\cos(pi / 5) = 1.618... = (1+\sqrt 5)/2 = \phi$, il rapporto aureo.

Si riscrive quindi la (*) come

$\phi - 2\sqrt((1 - \phi /2) / 2) = 1$.

e quindi come

$(\phi -1 )/2 = \sqrt((1 - \phi /2) / 2)$

$(\phi -1 )^2/4 = (1 - \phi /2) / 2$

$(\phi -1 )^2 = 2 - \phi $

$\phi^2 - 2 \phi +1 = 2- \phi$

$\phi^2 - \phi - 1 = 0$

che verifica una nota identita' della sezione aurea: https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea (2).

[axpgn]

Bravo ma un pochino complicato

Ecco la mia ...

I diametri $ID$ e $JE$ sono paralleli, rispettivamente, ai lati $AB$ e $BC$ del decagono regolare e ai lati $JC$ e $AD$ del decagono stellato.
Quindi $ABCM$ e $JMDO$ sono rombi, da cui $AD-BC=AD-AM=MD=JO$ ovvero un raggio del cerchio.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ottimo Alex !