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Due particelle sferiche hanno una massa di 1,0 g ciascuna e un raggio di 50 μm. Una ha una carica di +6 μC e la seconda di −6 μC. Le particelle vengono lasciate ferme e libere di muoversi ad una distanza di 1 mm una dall’altra; esse si muovono una verso l’altra fino ad urtarsi. Con che velocità si muovono al momento dell’urto? [1700 m/s] Ho provato a risolverlo usando Delta U =Delta K da cui mi ricavo v ma numericamente non mi ritrovo. Per favore ditemi dove sbaglio?

Buon giorno, sto studiando una dimostrazione che interpreta le parentesi di Lie di due campi vettoriali $[X,Y]$ come limite di \(Y\) lungo la curva integrale di \(X\). C'è un passaggio che non riesco a capire di tale dimostrazione, precisamente, posto $g$ tale che $$f(\phi_t(q)-f(q) = t g(t.q)$$ e una volta verificata l'identità $$g(0,q) = \frac{\partial f(\phi_t(q))-f(q)}{\partial t}$$ dove ...

Salve a tutti. Sto studiando teoria dei gruppi e volevo chiedervi un aiuto nella seguente dimostrazione. Ogni matrice appartenente a $SU(2)$ può essere scritta nella seguente forma $M=((\alpha, -\bar \beta),(\beta, \bar \alpha))$ con $\alpha, \beta in CC$ tale che $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Dimostrare che ogni matrice appartenente a $SU(2)$ può essere scritta in tale forma per un'$unica$ coppia $(\alpha,\beta)$ che soddisfi la condizione $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Come dimostro l'unicità di questa coppia? ...

Buongiorno, stavo risvolgendo un esercizio fatto dal mio professore in aula, ma non mi torna il risultato finale. La matrice in questione è la seguente: \begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\\end{pmatrix} \end{align*} L'applicazione lineare è: $l_A:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ L'esercizio chiede di calcolare gli autospazi. Calcoliamoci quindi il polinomio caratteristico $P_{l_A} (\lambda) = det(A-\lambda I_2)=$ \begin{align*} = det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda\\ \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 ...

Premessa: supponiamo che il campo sia $RR$ Noi sappiamo per certo che due matrici simmetriche sono simili se e solo se hanno stesso polinomio caratteristico. Se consideriamo invece due matrici antisimmetriche di ordine $2$ sappiamo che sono ortogonalmente simili se e solo se sono uguali, mentre se consideriamo due matrici antisimmetriche di ordine $3$ esse sono ortogonalmente simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico. Ora sorge la ...

Ciao, avrei un dubbio sul seguente esercizio: Sia una particella di massa m soggetta a hamiltoniana unidimensionale $H=p^2/(2m)+1/2m omega^2x^2$ e voglio determinare l'operatore posizione nella Heisenberg picture. Ora 1) la mia idea iniziale era stata di sfruttare: $dotx(t)=i/ħ[H,x]$ da cui poi $x(t)=x(0)+dotx(t)t$ ma svolgendo così avrei (dato il commutare di $x$ con $x^2$: $[x,x^2]=0$) che rimane solo il termine cinetico, quindi ...

Salve ragazzi, Sto cercando di risolvere questa equazione di secondo grado che presenta 2 variabili $ x^2 - 10*x + z +21 = 0 $ e so che il risultato è Delta$ = 100 - (4*z+84) $, quindi vi volevo chiedere, ma in generale quale sarebbe la formula? ad esempio Delta $= b^2 -4*(z+c)$ ? E in questo altro la formula del delta quale sarebbe? $4*x^2+y^2-60y+800 = 0$

Testo del problema: due blocchi di massa m1 = 10.0 kg e m2 = 5.00 kg sono collegati come in figura da un filo inestensibile e di massa trascurabile che passa per una puleggia, priva di attrito, di raggio R = 10.0 cm e di momento d'inerzia \( I = 0.025 kg\cdot m^2\). Si assume che non ci sia scivolamento del filo rispetto alla puleggia, che non ci sia attrito fra il piano d'appoggio e il blocco 1 e che il coefficiente di attrito dinamico tra i due blocchi sia \( \mu_k = 0.450\). Nell'ipotesi che ...

Sia $f :CC_n->CC_n$ un endomorfismo lineare. Se $ImfsubeIm(f- λI)$ $AAλinCC$ allora $f$ è nilpotente. Ho provato in questa direzione: Intanto siccome il campo è $CC$ se $λ_1$ è un autovalore di $f$ allora anche $\bar λ_1$ è un autovalore di $f$. Supponiamo per assurdo che esiste un autovalore $λ_1!=0$ di $f$, si allora che $f(v/λ_1)=v$ da cui $vinImf$ e quindi per ipotesi ...

Siano $A, B ∈ M_n(RR)$ matrici simmetriche semidefinite positive. Dimostrare che la matrice $AB + λI$ è invertibile $AAλ>0$. Non sono ancora riuscito a risolvere questo esercizio però ho fatto delle osservazioni: intanto se $A$ è semidefinita positiva allora $det(A+λI)>=λ$ $AAλ>0$. Allora ho provato a sviluppare il prodotto $(A+sqrt(λ)I)(B+sqrt(λ)I)=AB+λI+sqrt(λ)A+sqrt(λ)B$ da cui $det(AB+λI+sqrt(λ)A+sqrt(λ)B)>=λ$ ma poi da qui non so ancora come andare avanti (non so neanche se sia la strada ...

Salve a tutti, farò due post diversi con due differenti problemi seguiti dalle mie soluzioni (questa volta scriverò tutto a mano tranquilli , tranne per le figure ovviamente). Spero possiate dirmi se sono corretti o meno. Inizio col primo: Una tavola, di massa m1 = 6 kg e di lunghezza l = 2m, è posta su un piano liscio inclinato di 30° con l'orizzontale. Sull'estremo inferiore della tavola è appoggiato un corpo, di m2 = 2 kg, collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile ad un ...

Sia $AinM_n(RR)$. Dedurre che $A$ e $A^TA$ hanno lo stesso nucleo. Io ho pensato di fare cosi: Prendo $vinKerA$, si ha quindi che $Av=0$ ma allora $A^TAv=0$ da cui $vinKerA^TA$ e quindi $kerAsubeKerA^TA$. Definisco $<,>$ il prodotto scalare standard di $RR^n$ e prendo $vinKerA^TA$. Abbiamo che $<Av,Av> =v^tA^TAv=0$, poiché il prodotto scalare standard è definito positivo allora necessariamente ...

Sappiamo che perchè una funzione sia differenziabile di ordine k, occorre che le derivate parziali di ordine k esistano e siano continue, Supponiamo però di voler rinunciare all'ipotesi di continuità; in cambio però, vi dò l'esistenza delle derivate parziali di ordine k+c, per un certo c da determinare e per tutti i k (in altre parole, intendo barattare l'ipotesi di continuità con l'esistenza di derivate parziali di ordine piu alto). In questo caso, posso derivare la ...

Ritorno all'attacco con un esercizio su parte interna e chiusura che non riesco a formalizzare (in gran parte perché non ho con me i miei appunti dell'epoca di cui studiai topologia, dunque non ricordo le cose alla perfezione) Consideriamo i seguenti spazi topologici: 1) $X=RR$ con la topologia euclidea; 2) $ Y=RR$ con la topologia i cui aperti non banali sono le semirette destre aperte, ovvero $(a,+\infty)$ al variare di $a\in RR$. 3) ...

La formula relativa ad arcsin(x+y) è certamente poco nota. Sono riuscito a trovarla, dopo numerose e infruttuose ricerche a https://it.wikipedia.org/wiki/Arcoseno. Stamani mi sono proposto di scriverne una piu' semplice: ecco il risultato. Dopo averla verificata ho avuto una bella soddisfazione: la formula è giusta e notevolmente piu' semplice di quella nota. $\arcsin (x+y)=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}+\arcsin \frac{y\sqrt{1-(x+y)^2}}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}$ vedo che ho fatto un disastro in Latex (lo conosco poco e non ho tempo per cercare gl errori), grazie mille in anticipoa chi mi ...

Un insieme \(P \subseteq \mathbb{N} \) è detto primitivo se per ogni \(n,m \in P \) tale che \(n/m \in \mathbb{N} \) allora risulta che \(n=m \). Dimostra che esiste una costante \(c>0 \) tale che per ogni insieme \(P \) primitivo risulta che \[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n } \leq c \] NB: ovviamente escludiamo \(P = \{ 1 \} \).

Sia $V$ spazio vettoriale su $CC$ e $finEnd(V)$ nilpotente. Dimostrare che $AAa,binV$ $EEx,yinV$ tali che $f(x)+x+y=a$ e $f(y)+y-x=b$ Io ho fatto in questo modo ma non sono sicuro sia giusto al 100%: Sicuramente abbiamo che $f+I$ è invertibile poichè $f$ nilpotente quindi $f^n=0$ da cui $f^n+I=I$ e infine $(f+I)(f^(n-1)-...-I)=I$. Quindi sfruttando la definizione di invertibilità ...

Sia $AinM_n(CC)$ tale che $A^T=A^2-I$, determinare l’insieme dei possibili autovalori di $A$. Io ho preso $v$ autovettore di $A$ rispetto all'autovalore $λ$ e ho dedotto che $A^Tv=A^2v-Iv=λ^2v-v=(λ^2-1)v$ per cui $λ^2-1$ è autovalore di $A^T$ ma poiché $A$ e $A^T$ sono simili allora $λ^2-1$ è autovalore di $A$. Ma allora rieseguendo il ragionamento di prima ...

Ciao a tutti. Mi sono venuti dei dubbi. Per le trasformazioni irreversibili posso usare la funzione di stato dei gas perfetti? Se per esempio ho un'isoterma irreversibile e ho sia pressione iniziale che finale e il volume iniziale, posso trovare il volume finale con la legge di Boyle, giusto? Mentre so per certo che non posso usare le formule delle adiabatiche per una trasformazione adiabatica irreversibile, e non mi è molto chiaro il perchè. Infine l'ultimo dubbio. Le formule per lavoro e ...

Sto avendo qualche dubbio sul ricordarmi come si effettua un cambio di variabile in un integrale. Ho il seguente integrale: $\Delta \vec{r} = int_(\vec{r}_{0})^(\vec{r}(t)) d\vec{r} $ So che: $\vec{V}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$ Quindi: $d\vec{r} = \vec{V}(t) dt$ Poi diventa: $\Delta \vec{r} = int_(0)^(t) \vec{V}(t) dt $ Penso che per l'argomento dentro integrale ci siamo, ma per il cambio di variabile nel range di definizione, sto avendo dei dubbi. Quali sono i giusti passaggi che devono essere eseguiti?