Proprietà elementi SU(2)

[Gabriele Pagnanelli]

Salve a tutti. Sto studiando teoria dei gruppi e volevo chiedervi un aiuto nella seguente dimostrazione.

Ogni matrice appartenente a $SU(2)$ può essere scritta nella seguente forma

$M=((\alpha, -\bar \beta),(\beta, \bar \alpha))$ con $\alpha, \beta in CC$ tale che $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Dimostrare che ogni matrice appartenente a $SU(2)$ può essere scritta in tale forma per un'$unica$ coppia $(\alpha,\beta)$ che soddisfi la condizione $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Come dimostro l'unicità di questa coppia?
Grazie mille per il vostro aiuto.

[Lebesgue]

Come si dimostrano il 99% delle proposizioni sull'unicità: per assurdo!

Supponiamo per assurdo che esistano due coppie di complessi $(\alpha,\beta)$ e $(\gamma,\delta)$ che soddisfano alla relazione $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ e $|\gamma|^2+|\delta|^2=1$ tali per cui:

$ M=((\alpha, -\bar \beta),(\beta, \bar \alpha)) $ e $M=((\gamma, -\bar \delta),(\delta, \bar \gamma)) $.

Uguagliando membro a membro, ottieni che $\alpha=\gamma$ e $\beta=\delta$, da cui l'unicità

[Gabriele Pagnanelli]

Per quanto sia intuitivo non riuscivo ad arrivarci Grazie mille davvero! Molto utile