Formula calcolo delta con due variabili
Salve ragazzi,
Sto cercando di risolvere questa equazione di secondo grado che presenta 2 variabili $ x^2 - 10*x + z +21 = 0 $
e so che il risultato è Delta$ = 100 - (4*z+84) $, quindi vi volevo chiedere, ma in generale quale sarebbe la formula? ad esempio Delta $= b^2 -4*(z+c)$ ?
E in questo altro la formula del delta quale sarebbe? $4*x^2+y^2-60y+800 = 0$
Sto cercando di risolvere questa equazione di secondo grado che presenta 2 variabili $ x^2 - 10*x + z +21 = 0 $
e so che il risultato è Delta$ = 100 - (4*z+84) $, quindi vi volevo chiedere, ma in generale quale sarebbe la formula? ad esempio Delta $= b^2 -4*(z+c)$ ?
E in questo altro la formula del delta quale sarebbe? $4*x^2+y^2-60y+800 = 0$
Risposte
Come mai ti interessa risolvere queste equazioni in 2 variabili?
In generale, queste qui sono delle coniche, ovvero rappresentano dei particolari luoghi geometrici, cioè di solito non sono fatti da un numero finito di punti che riesci a trovare esplicitamente.
Ad esempio, l'equazione $4x^2+y^2-60y+800=0$ rappresenta, nel piano $xy$, una ellisse con centro in $(0,30)$, semiasse orizzontale $a=5$ e semiasse verticale $b=10$, in quanto puoi riscriverla come:
$4x^2+y^2-60y+800= 4x^2+(y-30)^2-900+800$ da cui ritrovi:
$4x^2+(y-30)^2=100$
ricordando che l'equazione di una ellisse in forma normale è: $(x-x_0)^2/(a^2)+(y-y_0)^2/(b^2)=1$, dove $(x_0,y_0)$ sono le coordinate del centro e $a,b$ i due semiassi, dividendo per $100$ ottieni:
$(x^2)/25+(y-30)^2/100 =1. $
Quindi, direi che non c'è una formula esplicita stile equazioni di secondo grado che puoi usare: devi cercare di ricondurti a equazioni di robe note (parabole, ellissi, circonferenze, iperboli...)
In generale, queste qui sono delle coniche, ovvero rappresentano dei particolari luoghi geometrici, cioè di solito non sono fatti da un numero finito di punti che riesci a trovare esplicitamente.
Ad esempio, l'equazione $4x^2+y^2-60y+800=0$ rappresenta, nel piano $xy$, una ellisse con centro in $(0,30)$, semiasse orizzontale $a=5$ e semiasse verticale $b=10$, in quanto puoi riscriverla come:
$4x^2+y^2-60y+800= 4x^2+(y-30)^2-900+800$ da cui ritrovi:
$4x^2+(y-30)^2=100$
ricordando che l'equazione di una ellisse in forma normale è: $(x-x_0)^2/(a^2)+(y-y_0)^2/(b^2)=1$, dove $(x_0,y_0)$ sono le coordinate del centro e $a,b$ i due semiassi, dividendo per $100$ ottieni:
$(x^2)/25+(y-30)^2/100 =1. $
Quindi, direi che non c'è una formula esplicita stile equazioni di secondo grado che puoi usare: devi cercare di ricondurti a equazioni di robe note (parabole, ellissi, circonferenze, iperboli...)
In pratica questi sono esercizi sono chiamati CSP ( constraint satisfaction problems), dove ti viene dato ad esempio 2 equazioni con più di una variabile di solito, ogni variabile ha un proprio dominio in Z ( come ad esempio il dominio di "x" è compreso tra 0 e 100) e tu in pratica devi ridurre questo dominio al massimo fino a soddisfare alla perfezione il csp.
Forse ho sbagliato area per fare questa domanda, ma non sapevo bene dove farla se non in analisi matematica
Forse ho sbagliato area per fare questa domanda, ma non sapevo bene dove farla se non in analisi matematica
Non penso ti serva per risolvere l'equazione, anzi non ti serve, però siccome la tua domanda era la formula del discriminante con polinomi a due variabili
Il discriminante di polinomi a più variabili esiste eccome, in particolare per i polinomi omogenei, ad esempio prendiamo una forma binaria di grado \(d \)
\[ P(x_1,x_2)= \sum_{0 \leq i \leq d} a_i x_1^i x_2^{d-i} \]
dove \(a_i\) sono i coefficienti. Ora abbiamo che questo polinomio possiede \(d\) radici sulla retta proiettiva complessa, i.e \( \mathbb{P}^1 \mathbb{C} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \). Per ogni scelta di rappresentanti delle radici \( [\alpha_1 : \beta_1 ], \ldots, [\alpha_n,\beta_n] \in \mathbb{P}^1 \mathbb{C} \) possiamo definire il discriminante di \(P\)
\[ \operatorname{disc}(P) = \prod_{1 \leq i < j \leq d} (\alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i)^2 \]
Nota inoltre che
\[ \operatorname{disc}(P)= \operatorname{disc}(P(x,1)) \]
in particolare per i polinomi omogenei di secondo grado se \( P(x,y)= ax^2 +bxy+cy^2 \) abbiamo che il discriminante è
\[ \operatorname{disc}(P) = b^2-4ac \]
Per i polinomi non omogenei, non so sinceramente, però un polinomio \(P(x_1,\ldots,x_n)\) non omogeneo di grado \(d\) può sempre essere omogeneizzato in \(^{h}P \) aggiungendo una variabile e definendo
\[ ^{h}P(x_0,x_1\ldots,x_n) = x_0^d P(x_1/x_0, \ldots x_n/x_0) \]
e un polinomio può sempre essere de-omogeneizzato imponendo \(x_0 = 1 \).
Il discriminante di polinomi a più variabili esiste eccome, in particolare per i polinomi omogenei, ad esempio prendiamo una forma binaria di grado \(d \)
\[ P(x_1,x_2)= \sum_{0 \leq i \leq d} a_i x_1^i x_2^{d-i} \]
dove \(a_i\) sono i coefficienti. Ora abbiamo che questo polinomio possiede \(d\) radici sulla retta proiettiva complessa, i.e \( \mathbb{P}^1 \mathbb{C} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \). Per ogni scelta di rappresentanti delle radici \( [\alpha_1 : \beta_1 ], \ldots, [\alpha_n,\beta_n] \in \mathbb{P}^1 \mathbb{C} \) possiamo definire il discriminante di \(P\)
\[ \operatorname{disc}(P) = \prod_{1 \leq i < j \leq d} (\alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i)^2 \]
Nota inoltre che
\[ \operatorname{disc}(P)= \operatorname{disc}(P(x,1)) \]
in particolare per i polinomi omogenei di secondo grado se \( P(x,y)= ax^2 +bxy+cy^2 \) abbiamo che il discriminante è
\[ \operatorname{disc}(P) = b^2-4ac \]
Per i polinomi non omogenei, non so sinceramente, però un polinomio \(P(x_1,\ldots,x_n)\) non omogeneo di grado \(d\) può sempre essere omogeneizzato in \(^{h}P \) aggiungendo una variabile e definendo
\[ ^{h}P(x_0,x_1\ldots,x_n) = x_0^d P(x_1/x_0, \ldots x_n/x_0) \]
e un polinomio può sempre essere de-omogeneizzato imponendo \(x_0 = 1 \).
Va bene dai, ora ho le cose più chiare.
Grazie dell'aiuto!
Grazie dell'aiuto!
"3m0o":
Non penso ti serva per risolvere l'equazione, anzi non ti serve, però siccome la tua domanda era la formula del discriminante con polinomi a due variabili
Il discriminante di polinomi a più variabili esiste eccome, in particolare per i polinomi omogenei, ad esempio prendiamo una forma binaria di grado \(d \)
\[ P(x_1,x_2)= \sum_{0 \leq i \leq d} a_i x_1^i x_2^{d-i} \]
dove \(a_i\) sono i coefficienti. Ora abbiamo che questo polinomio possiede \(d\) radici sulla retta proiettiva complessa, i.e \( \mathbb{P}^1 \mathbb{C} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \). Per ogni scelta di rappresentanti delle radici \( [\alpha_1 : \beta_1 ], \ldots, [\alpha_n,\beta_n] \in \mathbb{P}^1 \mathbb{C} \) possiamo definire il discriminante di \(P\)
\[ \operatorname{disc}(P) = \prod_{1 \leq i < j \leq d} (\alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i)^2 \]
Nota inoltre che
\[ \operatorname{disc}(P)= \operatorname{disc}(P(x,1)) \]
in particolare per i polinomi omogenei di secondo grado se \( P(x,y)= ax^2 +bxy+cy^2 \) abbiamo che il discriminante è
\[ \operatorname{disc}(P) = b^2-4ac \]
Per i polinomi non omogenei, non so sinceramente, però un polinomio \(P(x_1,\ldots,x_n)\) non omogeneo di grado \(d\) può sempre essere omogeneizzato in \(^{h}P \) aggiungendo una variabile e definendo
\[ ^{h}P(x_0,x_1\ldots,x_n) = x_0^d P(x_1/x_0, \ldots x_n/x_0) \]
e un polinomio può sempre essere de-omogeneizzato imponendo \(x_0 = 1 \).
Non avevo idea che fosse possibile definire il discriminante di un polinomio in più variabili in questo modo
Probabilmente, questo è dovuto ad una mia grave lacuna dello studio degli spazi proiettivi (non ho mai avuto occasione di studiarli approfonditamente nei miei corsi di geometria) a cui prima o poi dovrò decidere a porre rimedio
Ciao FilResto,
Innanzitutto benvenuto sul forum!
Non puoi semplicemente considerare l'equazione di secondo grado rispetto a $x$ e quindi $z$ come parametro?
Quindi è chiaro che sarà $\Delta = 10^2 - 4(z + 21) = 100 - 4z - 84 = 16 - 4z = 4(4 - z) $
Siccome chiaramente le soluzioni dovranno essere reali, imponendo $\Delta \ge 0 $ otterrai il vincolo per $z$: $\Delta \ge 0 \iff 4 - z \ge 0 \iff z \le 4 $
Analogamente per l'altra equazione $ 4x^2+y^2-60y+800 = 0 $:
$ y^2-60y+800 + 4x^2 = 0 $
$\Delta/4 = 30^2 - 800 - 4x^2 = 900 - 800 - 4x^2 = 100 - 4x^2 = 4(25 - x^2) $
Siccome chiaramente le soluzioni dovranno essere reali, imponendo $\Delta \ge 0 $ otterrai il vincolo per $x$: $\Delta \ge 0 \iff 25 - x^2 \ge 0 \iff - 5 \le x \le 5 $
Innanzitutto benvenuto sul forum!
"FilResto":
Sto cercando di risolvere questa equazione di secondo grado che presenta 2 variabili $x^2−10⋅x+z+21=0$
Non puoi semplicemente considerare l'equazione di secondo grado rispetto a $x$ e quindi $z$ come parametro?
Quindi è chiaro che sarà $\Delta = 10^2 - 4(z + 21) = 100 - 4z - 84 = 16 - 4z = 4(4 - z) $
Siccome chiaramente le soluzioni dovranno essere reali, imponendo $\Delta \ge 0 $ otterrai il vincolo per $z$: $\Delta \ge 0 \iff 4 - z \ge 0 \iff z \le 4 $
Analogamente per l'altra equazione $ 4x^2+y^2-60y+800 = 0 $:
$ y^2-60y+800 + 4x^2 = 0 $
$\Delta/4 = 30^2 - 800 - 4x^2 = 900 - 800 - 4x^2 = 100 - 4x^2 = 4(25 - x^2) $
Siccome chiaramente le soluzioni dovranno essere reali, imponendo $\Delta \ge 0 $ otterrai il vincolo per $x$: $\Delta \ge 0 \iff 25 - x^2 \ge 0 \iff - 5 \le x \le 5 $
"Lebesgue":
Non avevo idea che fosse possibile definire il discriminante di un polinomio in più variabili in questo modo
Probabilmente, questo è dovuto ad una mia grave lacuna dello studio degli spazi proiettivi (non ho mai avuto occasione di studiarli approfonditamente nei miei corsi di geometria) a cui prima o poi dovrò decidere a porre rimedio
[ot]In realtà io ho visto il discriminante di polinomi a più variabili non tanto nello studio degli spazi proiettivi, che ho visto poco anche io, ma soprattutto in teoria dei numeri, più precisamente soprattutto con le forme binaria o le forme cubiche, in particolare la teoria della riduzione delle forme, la teoria della rappresentazione e soprattutto grazie al loro potente legati con campi numerici quadratici e cubici rispettivamente, campi numerici che possiedono anche loro dei discriminanti e sono essenzialmente la stessa cosa
Le forme binarie sono semplicemente polinomi omogenei di grado due a coefficienti interi. Puoi vedere il discriminante anche come determinante, infatti ad ogni forma binaria puoi associare un unica matrice, tant'è che \( f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 \) allora la matrice di \(f\) è data come l'unica matrice che soddisfa \(f(x,y)= (x,y) M_f (x,y)^T \) e hai che \( \operatorname{disc}(f) = - 4 \det M_f \).
Inoltre puoi dimostrare che il discriminante è un invariante di una forma binaria (è un invariante anche cubica, di gradi superiori non so). Sostanzialmente applicando alla tua forma una matrice di \( \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z})\) ottieni una forma che ha lo stesso discriminante. Mentre se la matrice la prendi a coefficienti in un campo allora sono solo proporzionali per un fattore che è sostanzialmente una potenza del determinante della matrice che applichi alla forma.[/ot]
"3m0o":
[ot]In realtà io ho visto il discriminante di polinomi a più variabili non tanto nello studio degli spazi proiettivi, che ho visto poco anche io, ma soprattutto in teoria dei numeri, più precisamente soprattutto con le forme binaria o le forme cubiche, in particolare la teoria della riduzione delle forme, la teoria della rappresentazione e soprattutto grazie al loro potente legati con campi numerici quadratici e cubici rispettivamente, campi numerici che possiedono anche loro dei discriminanti e sono essenzialmente la stessa cosa
Le forme binarie sono semplicemente polinomi omogenei di grado due a coefficienti interi. Puoi vedere il discriminante anche come determinante, infatti ad ogni forma binaria puoi associare un unica matrice, tant'è che \( f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 \) allora la matrice di \(f\) è data come l'unica matrice che soddisfa \(f(x,y)= (x,y) M_f (x,y)^T \) e hai che \( \operatorname{disc}(f) = - 4 \det M_f \).
Inoltre puoi dimostrare che il discriminante è un invariante di una forma binaria (è un invariante anche cubica, di gradi superiori non so). Sostanzialmente applicando alla tua forma una matrice di \( \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z})\) ottieni una forma che ha lo stesso discriminante. Mentre se la matrice la prendi a coefficienti in un campo allora sono solo proporzionali per un fattore che è sostanzialmente una potenza del determinante della matrice che applichi alla forma.[/ot]
[ot]In realtà, decisi di abbandonare l'algebra / teoria dei numeri non appena finii gli esami obbligatori della triennale (ovvero al secondo anno), poiché è per me una materia sì bellissima, ma trattata in maniera eccessivamente difficile nella mia università (professori bravissimi a spiegare, ma con compiti d'esame impossibili. Le persone che riuscivano a passare l'esame al primo tentativo si letteralmente contavano sulle dita di una mano), quindi non ho troppo approfondito questa parte che tu citi
[/ot]
grazie a tutti ragazzi!
Un'ultima cosa ma se nel caso della formula $x^2 -10x+z+21=0 $ al posto di solo $x^2$ ci fosse stato ad esempio $2x^2$ allora quale sarebbe stato il risultato? Sempre $4(4-z)$? È l'unico caso che mi manca
Un'ultima cosa ma se nel caso della formula $x^2 -10x+z+21=0 $ al posto di solo $x^2$ ci fosse stato ad esempio $2x^2$ allora quale sarebbe stato il risultato? Sempre $4(4-z)$? È l'unico caso che mi manca
Beh no, in tal caso avresti l'equazione seguente:
$2x^2 - 10x + z + 21 = 0 $
$\Delta = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (z + 21) = 100 - 8z - 168 = - 68 - 8z $
Imponendo $\Delta \ge 0 $ ottieni un altro vincolo per $z$, diverso da quello precedentemente ottenuto.
$2x^2 - 10x + z + 21 = 0 $
$\Delta = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (z + 21) = 100 - 8z - 168 = - 68 - 8z $
Imponendo $\Delta \ge 0 $ ottieni un altro vincolo per $z$, diverso da quello precedentemente ottenuto.
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