[Esercizio] Calcolo degli autospazi matrice 2x2
Buongiorno, stavo risvolgendo un esercizio fatto dal mio professore in aula, ma non mi torna il risultato finale.
La matrice in questione è la seguente:
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\\end{pmatrix} \end{align*}
L'applicazione lineare è: $l_A:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$
L'esercizio chiede di calcolare gli autospazi.
Calcoliamoci quindi il polinomio caratteristico $P_{l_A} (\lambda) = det(A-\lambda I_2)=$
\begin{align*} = det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda\\ \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \end{align*}
Per trovare le radici del polinomio caratteristico dobbiamo porlo $=0$ e troviamo che:
$\lambda_{1,2} = \pm\sqrt{2}$
Questi sono gli autovalori della matrice e lo spettro* sarà $= \{ \pm \sqrt{2} \}$
Per calcolarci il primo autospazio $V_{\sqrt{2}}$:
$V_{\sqrt{2}} = Ker(f-\sqrt(2) \text{id}_2)=$
\begin{align*} = Ker \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1-\sqrt{2} \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\end{align*}
Devo quindi calcolare la seguente matrice:
\begin{align*} \displaystyle \left( \begin{array}{cc|c}
1-\sqrt{2} & 1 & 0\\
1 & -1-\sqrt{2} & 0
\end{array} \right) \end{align*}
Risolviamolo mediante eliminazione di Gauss moltiplicando la prima riga per $(-\sqrt(2)-1)$ così facendo otteniamo che le due righe sono proporzionali tra di loro e quindi non linearmente indipendenti, pertanto riscriviamo la matrice:
\begin{align*} = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2}-1 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\end{align*}
Abbiamo quindi che:
\begin{align*} span \begin{pmatrix} 1 \\ -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}
A lui viene uno span diverso, ho sbagliato io a ricopiare(/lui) o ci può essere una motivazione?
Per quanto riguarda il secondo autospazio:
\begin{align*} V_{-\sqrt{2}} = Ker(f+\sqrt(2) \text{id}_2)= span \begin{pmatrix} 1 \\ -1 -\sqrt(2)\\ \end{pmatrix} \end{align*}
Inoltre ho un'altra domanda: noi sappiamo che una matrice per essere diagonalizzabile deve rispettare due criteri:
1) il numero degli autovalori della matrice $A\in \mathbb{K}$ e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice (in questo caso quindi $2$)
2) la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica
Questa seconda condizione però in questo esercizio non è stata verificata (anche perché al tempo non era stata ancoro trattato il significato di m. geometrica), perchè? Perché la molteplicità geometrica non può essere $=0$ quindi se la m.algebrica è $=1$ è immediato che sia $=1$ anche quella geometrica?
Grazie mille delle disponibilità, spero di essere stata sufficientemente chiara.
*lo spettro nel caso di spazi finito dimensionali è solamente discreto(puntuale) mentre nel caso infinito dimensionale abbiamo spettro discreto, continuo e residuo, giusto?
La matrice in questione è la seguente:
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\\end{pmatrix} \end{align*}
L'applicazione lineare è: $l_A:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$
L'esercizio chiede di calcolare gli autospazi.
Calcoliamoci quindi il polinomio caratteristico $P_{l_A} (\lambda) = det(A-\lambda I_2)=$
\begin{align*} = det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda\\ \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \end{align*}
Per trovare le radici del polinomio caratteristico dobbiamo porlo $=0$ e troviamo che:
$\lambda_{1,2} = \pm\sqrt{2}$
Questi sono gli autovalori della matrice e lo spettro* sarà $= \{ \pm \sqrt{2} \}$
Per calcolarci il primo autospazio $V_{\sqrt{2}}$:
$V_{\sqrt{2}} = Ker(f-\sqrt(2) \text{id}_2)=$
\begin{align*} = Ker \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 1 \\ 1 & -1-\sqrt{2} \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\end{align*}
Devo quindi calcolare la seguente matrice:
\begin{align*} \displaystyle \left( \begin{array}{cc|c}
1-\sqrt{2} & 1 & 0\\
1 & -1-\sqrt{2} & 0
\end{array} \right) \end{align*}
Risolviamolo mediante eliminazione di Gauss moltiplicando la prima riga per $(-\sqrt(2)-1)$ così facendo otteniamo che le due righe sono proporzionali tra di loro e quindi non linearmente indipendenti, pertanto riscriviamo la matrice:
\begin{align*} = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2}-1 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\end{align*}
Abbiamo quindi che:
\begin{align*} span \begin{pmatrix} 1 \\ -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}
A lui viene uno span diverso, ho sbagliato io a ricopiare(/lui) o ci può essere una motivazione?
Per quanto riguarda il secondo autospazio:
\begin{align*} V_{-\sqrt{2}} = Ker(f+\sqrt(2) \text{id}_2)= span \begin{pmatrix} 1 \\ -1 -\sqrt(2)\\ \end{pmatrix} \end{align*}
Inoltre ho un'altra domanda: noi sappiamo che una matrice per essere diagonalizzabile deve rispettare due criteri:
1) il numero degli autovalori della matrice $A\in \mathbb{K}$ e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice (in questo caso quindi $2$)
2) la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica
Questa seconda condizione però in questo esercizio non è stata verificata (anche perché al tempo non era stata ancoro trattato il significato di m. geometrica), perchè? Perché la molteplicità geometrica non può essere $=0$ quindi se la m.algebrica è $=1$ è immediato che sia $=1$ anche quella geometrica?
Grazie mille delle disponibilità, spero di essere stata sufficientemente chiara.
*lo spettro nel caso di spazi finito dimensionali è solamente discreto(puntuale) mentre nel caso infinito dimensionale abbiamo spettro discreto, continuo e residuo, giusto?
Risposte
"francyiato":
A lui viene uno span diverso, ho sbagliato io a ricopiare(/lui) o ci può essere una motivazione?
Che autospazio esce al tuo prof? Per caso gli esce: \begin{pmatrix} 1+\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix}?
Perché nel caso è lo stesso span, basta che prendi quello che hai trovato tu e moltiplichi entrambe le entrate per $1+\sqrt2$.
Inoltre ho un'altra domanda: noi sappiamo che una matrice per essere diagonalizzabile deve rispettare due criteri:
1) il numero degli autovalori della matrice $A\in \mathbb{K}$ e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della matrice (in questo caso quindi $2$)
2) la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica
Questa seconda condizione però in questo esercizio non è stata verificata (anche perché al tempo non era stata ancoro trattato il significato di m. geometrica), perchè?
Perchè hai trovato esattamente $n$ autovalori distinti (con $n$= taglia della matrice)
Se hai una matrice $n\times n$ e trovi esattamente $n$ autovalori distinti (dunque tutti con molteplicità algebrica =1), allora la tua matrice è sicuro diagonalizzabile.
Perché la molteplicità geometrica non può essere $=0$ quindi se la m.algebrica è $=1$ è immediato che sia $=1$ anche quella geometrica?
C'é un teorema che afferma che per ogni autovalore $\lambda$, si ha che: $1\le mg(\lambda)\le ma(\lambda)$
dove $mg$ è la molteplicità geometrica e $ma$ è quella algebrica relative a $\lambda$.
Dunque se hai che $ma(\lambda)=1$, necessariamente anche $mg(\lambda)=1$.
"Lebesgue":
Che autospazio esce al tuo prof? Per caso gli esce: \[ \begin{pmatrix} 1+\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \]?
Perché nel caso è lo stesso span, basta che prendi quello che hai trovato tu e moltiplichi entrambe le entrate per $ 1+\sqrt2 $.
Cavolo hai ragione, grazie mille!
Ho capito anche la questione della molteplicità geometrica e algebrica, grazie ancora.
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