Funzioni continue e loro grafico
Ecco un nuovo esercizio di topologia, sul grafico di funzioni.
Sia $f:X\to Y$ funzione tra spazi topologici. Indichiamo con $\Gamma_f$ il grafico di $f$ contenuto nel prodotto cartesiano $X\times Y$.
Supponiamo che $X$ sia compatto e di Hausdorff. Dimostrare che se $\Gamma_f$ è compatto, allora $f$ è continua.
Premetto che mi sento particolarmente sciocco, perché ho l'impressione che questo sia un esercizio veramente fesso, ma non mi riesce.
Io ho fatto le seguenti considerazioni: poiché il grafico è compatto e $X$ è Hausdorff, allora la mappa
$g:\Gamma_f \to X$ tale che $g(x,f(x))=x$ è continua (per come è definito il grafico, sostanzialmente), suriettiva e va da un compatto ad un Hausdorff, quindi è chiusa.
La mia idea era di usare questa affermazione per mostrare che $f$ è continua ragionando con i chiusi, ovvero mostrando che controimmagine di chiusi di $Y$ è chiusa in $X$, ma non mi viene per nulla come poter fare...
suggerimenti?
Sia $f:X\to Y$ funzione tra spazi topologici. Indichiamo con $\Gamma_f$ il grafico di $f$ contenuto nel prodotto cartesiano $X\times Y$.
Supponiamo che $X$ sia compatto e di Hausdorff. Dimostrare che se $\Gamma_f$ è compatto, allora $f$ è continua.
Premetto che mi sento particolarmente sciocco, perché ho l'impressione che questo sia un esercizio veramente fesso, ma non mi riesce.
Io ho fatto le seguenti considerazioni: poiché il grafico è compatto e $X$ è Hausdorff, allora la mappa
$g:\Gamma_f \to X$ tale che $g(x,f(x))=x$ è continua (per come è definito il grafico, sostanzialmente), suriettiva e va da un compatto ad un Hausdorff, quindi è chiusa.
La mia idea era di usare questa affermazione per mostrare che $f$ è continua ragionando con i chiusi, ovvero mostrando che controimmagine di chiusi di $Y$ è chiusa in $X$, ma non mi viene per nulla come poter fare...
suggerimenti?
Risposte
Mm, non so farlo. Ma non chiedi proprio niente su \( Y \)? Perché se fosse almeno Hausdorff allora \( \Gamma_f \) sarebbe chiuso in \( X\times Y \), e preso un chiuso \( C\subset Y \) potresti concludere che
\[
f^{-1}(C) = g(\Gamma_f\cap (X\times C))
\] è chiuso, perché immagine per una mappa chiusa di un chiuso. Questa dimostrazione è una variazione sul tema di: https://math.stackexchange.com/questions/1495164/closed-graph-implies-f-continuous.
\[
f^{-1}(C) = g(\Gamma_f\cap (X\times C))
\] è chiuso, perché immagine per una mappa chiusa di un chiuso. Questa dimostrazione è una variazione sul tema di: https://math.stackexchange.com/questions/1495164/closed-graph-implies-f-continuous.
Compatto per successioni o per ricoprimenti?
"marco2132k":
Mm, non so farlo. Ma non chiedi proprio niente su \( Y \)? Perché se fosse almeno Hausdorff allora \( \Gamma_f \) sarebbe chiuso in \( X\times Y \), e preso un chiuso \( C\subset Y \) potresti concludere che
\[
f^{-1}(C) = g(\Gamma_f\cap (X\times C))
\] è chiuso, perché immagine per una mappa chiusa di un chiuso. Questa dimostrazione è una variazione sul tema di: https://math.stackexchange.com/questions/1495164/closed-graph-implies-f-continuous.
eh no, ho ipotesi solo ed unicamente su $X$, lo spazio di partenza, ed è proprio questo che mi turba parecchio...
So anche io che se ho delle buone ipotesi sullo spazio di arrivo $Y$, allora posso fare delle conclusioni decenti, ma qui non dà proprio niente
"FibratoTangente":
Compatto per successioni o per ricoprimenti?
Compattezza per ricoprimenti (nei corsi di topologia, è questa la definizione di compattezza più generale che si usa, la compattezza per successioni è già più delicata. Ad esempio, se lo spazio non è almeno T2, il limite di una successione non è neanche detto sia unico)
Cercando su MathStackExchange, ho trovato la risposta:
https://math.stackexchange.com/question ... mpact?rq=1
https://math.stackexchange.com/question ... mpact?rq=1
Ok, alla fine dovevi usare il fatto che chiuso \cap compatto = compatto. Era facile...
"marco2132k":
Ok, alla fine dovevi usare il fatto che chiuso \cap compatto = compatto. Era facile...
"facile" è sempre molto soggettivo
Per me non era troppo evidente la scrittura $f^(-1)(C)=\pi_X\left(\Gamma_f\cap (X\times C)\right)$ [dove $\pi_X:X\times Y\to X$ è la proiezione sul primo fattore]
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