[MQ] Operatore in rappresentazione di Heisenberg

[pegasu1]

Ciao, avrei un dubbio sul seguente esercizio:

Sia una particella di massa m soggetta a hamiltoniana unidimensionale $H=p^2/(2m)+1/2m omega^2x^2$
e voglio determinare l'operatore posizione nella Heisenberg picture.

Ora

1) la mia idea iniziale era stata di sfruttare: $dotx(t)=i/ħ[H,x]$ da cui poi $x(t)=x(0)+dotx(t)t$

ma svolgendo così avrei (dato il commutare di $x$ con $x^2$: $[x,x^2]=0$) che rimane solo il termine cinetico, quindi $i/ħ[p^2/(2m),x]=p/m$ e infine: $x(t)=x(0)+p/mt$, che non è corretto.

2) Ho poi provato a calcolare esplicitamente: $U^+x_sU psi_n(x)$ con U operatore di traslazione temporale $U=e^(-iH/ħt)$ e operatori $a^+$ e $a$ e trovo: $x(t)=sqrt(ħ/(2m omega))(e^(i omega t)a^++e^(-i omega t)a)$

Che è quanto riportato sull esercizio come soluzione, ma non capisco perché il primo metodo non funzioni, mi aspetterei un risultato compatibile. Dove sta l'errore?

[Lampo1089]

Dove sta l'errore?

nel commutatore gli operatori devono essere trattati in rappresentazione di Heisenberg per cui:

\[
\frac{i}{\hbar}\left[\frac{p_H^2}{2m}, x_H\right] = \frac{p_H}{m}
\]

di conseguenza è errato risolvere l'equ del moto trattando l'operatore impulso come time-independent.

[pegasu1]

Hai ragione, tuttavia c'è un esercizio che avevo svolto e mi piacerebbe riportarti. Perché nel mio caso non posso fare lo stesso? Il punto è che sono si in rappresentazione di Heisenberg ma come dice la soluzione potrei usarli a t=0 che di fatto sono noti perché equivalgono alla rappresentazione di Schrodinger.

Non riesco a cogliere la "sottile" differenza tra il mio caso e questo:




Ti ringrazio

[Lampo1089]

Dovresti verificare nei due problemi l'eq del moto alla heisenberg per l'operatore impulso.

Nel caso di particella libera l'operatore impulso alla Heisenberg coincide con l'operatore alla schrodinger dato che impulso è hamiltoniana commutano. Ovviamente questo non vale nel caso dell'oscillatore armonico quantistico.

[pegasu1]

Pensavo di aver avuto l'illuminazione ma vedo che mi hai già risposto. Era proprio quello il mio errore teorico!
Grazie