Omomorfismo SU(2)->SO(3)
Salve a tutti. Sto studiando il rivestimento doppio di $SU(2)$ su $SO(3)$ tramite l'omomorfismo tra gruppi di Lie $\phi : SU(2) -> SO(3)$.
Come dimostro che quest'omomorfismo è suriettivo e 2 a 1? Ovvero che $AARinSO(3)$ avrò che il numero di elementi dati da $\phi^(-1)(R)$ è uguale a 2.
Grazie mille per qualsiasi aiuto offerto.
Come dimostro che quest'omomorfismo è suriettivo e 2 a 1? Ovvero che $AARinSO(3)$ avrò che il numero di elementi dati da $\phi^(-1)(R)$ è uguale a 2.
Grazie mille per qualsiasi aiuto offerto.
Risposte
Ciao, se riesci a scrivere com'è definita $phi$, poi sono conti. Se stai studiando su un libro immagino che venga data la definizione di $phi$.
L'omomorfismo è definito come $\phi_U(X): V->V$ dove $\phi_U(X)=UXU^(-1)$ e le matrici $X$ fanno parte dello spazio $V={X inMat(2,CC) : X^**=X, Tr(X)=0}$ che equipaggiato con il prodotto tra matrici $(X|V)_V=1/2Tr(X^**Y)$ è identificato con lo spazio euclideo tridimensionale.
Le matrici $X$ saranno della forma $X=((x_3,x_1-ix_2),(x_1+ix_2,-x_3))$ con cui identifico un vettore in $RR^3$ $v=(x_1,x_2,x_3)$. Applicando l'elemento $U$ come sopra otterrò un nuovo elemento di $V$ corrispondente ad un altro vettore $v'$ che risulterà essere una rotazione tridimensionale di $v$ tramite un certo elemento di $SO(3)$.
Data questa definizione di $\phi$ come dimostro che è suriettiva 2 a 1?
Grazie mille per la disponibilità.
Le matrici $X$ saranno della forma $X=((x_3,x_1-ix_2),(x_1+ix_2,-x_3))$ con cui identifico un vettore in $RR^3$ $v=(x_1,x_2,x_3)$. Applicando l'elemento $U$ come sopra otterrò un nuovo elemento di $V$ corrispondente ad un altro vettore $v'$ che risulterà essere una rotazione tridimensionale di $v$ tramite un certo elemento di $SO(3)$.
Data questa definizione di $\phi$ come dimostro che è suriettiva 2 a 1?
Grazie mille per la disponibilità.
Che sia 2 a 1 è facile, basta calcolare il nucleo e mostrare che ha solo due elementi.
La suriettività è più difficile, dimostrarla a mano è faticoso. Di solito si usano argomenti topologico-differenziali. Mostra che $phi$ è un diffeomorfismo locale, quindi manda aperti in aperti, peraltro il sottogruppo generato da un aperto è un sottogruppo aperto (in ogni gruppo topologico) e quindi chiuso (in un gruppo topologico, ogni sottogruppo aperto è chiuso), ora usi che $SO(3)$ è connesso e concludi.
La suriettività è più difficile, dimostrarla a mano è faticoso. Di solito si usano argomenti topologico-differenziali. Mostra che $phi$ è un diffeomorfismo locale, quindi manda aperti in aperti, peraltro il sottogruppo generato da un aperto è un sottogruppo aperto (in ogni gruppo topologico) e quindi chiuso (in un gruppo topologico, ogni sottogruppo aperto è chiuso), ora usi che $SO(3)$ è connesso e concludi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo