Le parentesi di Lie come limite
Buon giorno, sto studiando una dimostrazione che interpreta le parentesi di Lie di due campi vettoriali $[X,Y]$ come limite di \(Y\) lungo la curva integrale di \(X\).
C'è un passaggio che non riesco a capire di tale dimostrazione, precisamente, posto $g$ tale che
$$f(\phi_t(q)-f(q) = t g(t.q)$$
e una volta verificata l'identità
$$g(0,q) = \frac{\partial f(\phi_t(q))-f(q)}{\partial t}$$
dove $phi_t$ è la curva integrale di X,
viene usata l'identità
$$Y_p(g(0,*))=Y_p(X(f)) $$
come si giustifica tale passaggio?
C'è un passaggio che non riesco a capire di tale dimostrazione, precisamente, posto $g$ tale che
$$f(\phi_t(q)-f(q) = t g(t.q)$$
e una volta verificata l'identità
$$g(0,q) = \frac{\partial f(\phi_t(q))-f(q)}{\partial t}$$
dove $phi_t$ è la curva integrale di X,
viene usata l'identità
$$Y_p(g(0,*))=Y_p(X(f)) $$
come si giustifica tale passaggio?
Risposte
Tu hai che $ g(0,q)=\frac{\partial}{\partial t} \left(f(\phi_t(q))-f(q)\right) = \frac{\partial}{\partial t} f(\phi_t(q))|_(t=0) $
Poiché $\phi_t(q)$ è la curva integrale del campo vettoriale $X$, hai che $\phi_t(q)$ è una curva tale per cui $\phi_0 (q)=q$ e $\phi'_0(q)=X(q)$, dunque hai che:
$\frac{d}{dt} \left(f\circ \phi_t(q)\right)|_(t=0) = (Xf)(q) $
poiché l'applicazione $f \to Xf $ è una derivazione, dunque è interpretabile come differenziale di una funzione composta una opportuna curva.
Mettendo tutto assieme, hai che effettivamente $g(0,q)=(Xf)(q)$
Tutte le proprietà usate, sono proprietà delle derivazioni, delle curve integrali, dei campi vettoriali e di come questi si comportino con le funzioni.
Sono diversi fatti (ma sempre gli stessi) riguardanti questi operatori, se hai dubbi penso basti scorrere tra i tuoi appunti e ritrovi tutto
[Per maggiori informazioni, vedi "Geometria Differenziale" di Abate, Tovena (si trova agilmente su LibGen), paragrafo 3.4, pp 158-159, proposizione 3.4.6]
Poiché $\phi_t(q)$ è la curva integrale del campo vettoriale $X$, hai che $\phi_t(q)$ è una curva tale per cui $\phi_0 (q)=q$ e $\phi'_0(q)=X(q)$, dunque hai che:
$\frac{d}{dt} \left(f\circ \phi_t(q)\right)|_(t=0) = (Xf)(q) $
poiché l'applicazione $f \to Xf $ è una derivazione, dunque è interpretabile come differenziale di una funzione composta una opportuna curva.
Mettendo tutto assieme, hai che effettivamente $g(0,q)=(Xf)(q)$
Tutte le proprietà usate, sono proprietà delle derivazioni, delle curve integrali, dei campi vettoriali e di come questi si comportino con le funzioni.
Sono diversi fatti (ma sempre gli stessi) riguardanti questi operatori, se hai dubbi penso basti scorrere tra i tuoi appunti e ritrovi tutto
[Per maggiori informazioni, vedi "Geometria Differenziale" di Abate, Tovena (si trova agilmente su LibGen), paragrafo 3.4, pp 158-159, proposizione 3.4.6]
Cara\o FibratoTangente: benvenuta\o! 
Potresti spiegare meglio le notazioni, ad esempio cosa sono \(f\) e \(g\)!
Potresti spiegare meglio le notazioni, ad esempio cosa sono \(f\) e \(g\)!
f e g sono germi (ci vuole un buon disinfettante). Comunque ho risolto; ci si riconduce a un rapporto incrementale, di $Y(f)\circ \phi_t$, e quindi a $\dot phi_t(0)$, ed essendo $\phi_t(p)$ il flusso associato al campo vettoriale X, ottengo XY(f).
Ringrazio il fondatore del famoso integrale dell'aiuto:)
Ringrazio il fondatore del famoso integrale dell'aiuto:)
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