Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao,
devo determinare la posizione reciproca di due rette (incidenti, parallele o sghembe) delle due rette
$ r{(x=1-t ),( y=2t ),( z=3t ):} $ da cui $Vr=(-1,2,3)$
$s{(x-y+z=0),(2x-y-z=0):}$ da cui $Vs=(1,1,1)$
dato che $<Vr, Vs>!=0$ posso dire che non sono parallele, ma le altre due condizioni come le verifico??
esiste una metodo sempre con il prodotto scalare??
Ragazzi ho quest'esercizio ho provato a risolverlo ma mi blocco per strada:
Si considerino i sistemi di vettori S1=[(1,0,-1,2,-3),(1,-1,0,0,1),(-1,2,-1,2,-5) e S2=[(0,1,-1,2,-4),(1,-1,1,0,1),(0,2,0,2,3)] in R^5.
1)Determinare la dimensione di Uk=L(Sk) e determinarne una base.
2)Determinare le dimensioni di U1+U2 e di $ U1 nn U2 $
Non so come risolverlo, Uk non riesco a capire a cosa si riferisca, per quanto riguarda il secondo punto dovrebbe trattarsi della formula di Grassman, ...
Ho un sistema omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite, andandolo a risolvere con Rouchè-Capelli mi si elimina la x e giungo a una contraddizione con la terza equazione.. il sistema è impossibile o c'è qualcosa che sbaglio? Le tre equazioni sono le seguenti:
4x+2y-z+3t=0
2x+y-z+2t=0
z+t=o
Grazie!
buon giorno a tutti....
1)
mi è stata fatta questa domanda qualche giorno fa!
"dimostrare che se A, B sono 2 matrici rettangolari e il detA=0, detB=0 allora detAB=0!?---è possibile dimostrare questo enunciato!?....è definito il determinante di una matrice rettangolare!?...
2)
esistono espedienti per calcolare rapidamente il determinante di una matrice simmetrica !?
grazie mille
angelo.
dato il sottospazio vettoriale
H formato dalle matrici R^2,2 $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ / 2x-y-z=x+3y-2t=0
trovare una base di H
io ne ho trovata una che è (-3,1,-7,0),(2,0,4,1) ma il libro mi dà un altro risultato per il primo vettore
secondo voi è comunque giusta?
grazie mille a tutti quelli che mi aiuteranno
Ciao, qualcuno potrebbe suggerirmi un metodo per svolgere questi esercizi di algebra lineare e geometria?? grazieeeeeeee
1) scrivere la formula dell'affinità del piano data
dalla simmetria rispetto alla retta di equazione 2x+y-1=0
2) consideriamo i seguenti elementi dello spazio vettoriale delle funzioni
reali a variabili reali:
cos(2x), sin(2x), cos^2(x), sin^2(x). quali si tali elementi dipendono
linearmente dagli altri? qual è il numero massimo di elementi linearmente
indipendenti ...
ho un sottospazio V di R3 formato da due vettori. l'esercizio mi chiede per quali valori di k un terzo vettore appartiene al sottospazio.
devo vedere per quali valori di k il rango della matrice formato dai tre vettori è 2 giusto?
grazie.
Salve a tutti. Ho il seguente esercizio:
Esiste un’applicazione lineare f di $RR^3$ in
$RR^3$ tale che f (1, 1, 0) = (0, 0, 0), f (0, 1, 2) = (1, 0, 1) e f (1, 2, 2) = (-1, 0, 0)?
(Suggerimento : si osservi che i vettori (1, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 2, 2) sono linearmente dipendenti .... )
Allora, nelle applicazioni lineari f conserva la dipendenza lineare, quindi, essendo i vettori delle immagini linearmente dipendenti (è presente il vettore nullo) mi verrebbe da ...
Ciao, qualcuno potrebbe suggerirmi un metodo per svolgere questi esercizi di algebra lineare e geometria?? grazieeeeeeee
1) scrivere la formula dell'affinità del piano data
dalla simmetria rispetto alla retta di equazione 2x+y-1=0
2) consideriamo i seguenti elementi dello spazio vettoriale delle funzioni
reali a variabili reali:
cos(2x), sin(2x), cos^2(x), sin^2(x). quali si tali elementi dipendono
linearmente dagli altri? qual è il numero massimo di elementi linearmente
indipendenti ...
Salve, avrei dei dubbi sul seguente esercizio:
Calcolare la lunghezza dell'arco di curva:
$\C : {(x = sen(t)),(y = cos(t)),(z = t):}$ con $\t in [0, 6\pi]$.
Si calcoli inoltre la retta tangente a C nel punto t=0.
Per quel che riguarda la lunghezza ho svolto l'esercizio in questo modo:
Derivata delle componenti di C: $\: {(x' = cos(t)),(y' = -sen(t)),(z' = 1):}$
Lunghezza L= $\int_{0}^{6\pi} sqrt((cos(t))^2+(-sen(t))^2+(1)^2)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(cos^2(t)+sen^2(t)+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(1+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(2)$=$\[sqrt(2)]_{0}^{6\pi}=sqrt(2) 6\pi<br />
<br />
Per la retta tangente invece:<br />
<br />
r:$\ {(x = x(t_0)+x'(t_0)t),(y = y(t_0)+y'(t_0)t),(z = ...
Dati in $RR3[x]$ $p(x)=1+x \ q(x)=x+x^2 \ r(x)=1+x^2+x^3$ trovare $ L=L({p(x),q(x)}) \ L'=L({r(x),p(x)}), \ L+L' ,\ L\capL'$
Per prima cosa dovrei determinare i vettori che generano L e L'
$L=L({p(x),q(x)})=(\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,1,1,0))=(\alpha,\alpha+\beta,\beta,0)$
e
$L'=L({r(x),p(x)})=(\alpha(1,0,1,1)+\beta(1,1,0,0))=(\alpha+\beta,\beta,\alpha,\alpha)$
Trovati i vettori che generano gli spazi vettoriali L ed L', determino una base per $L+L'$ (e qui ho dei dubbi)
Per farlo dovrei determinare la matrice formata dalla somma dei vettori che generano L ed L'
$((1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0))$ riduzco a scala $ ((1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1),(0,0,0,0))$
Da qui controllo che ...
salve,
So che le colonne della matrice A sono i generatori dell'immagine, infatti Dim Im = rango. Ora come metodo per trovare le basi e quindi i generatori dell'immagine, uso fare la trasposta della matrice, così da non dover lavorare sulle colonne.
Prendo un esempio:
$ ( ( 6 , 2 , -2 ),( 0 , -6 , 1 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $
già trasposta, la riduco a squadre e ottengo
$ ( ( 0 , -6 , 1 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $
Adesso cosa devo scrivere?
mi basta dire che i vettori colonna $ ( 0 , -6 , 1 ),( 3 , 1 , -1 ) $ sono le basi della mia immagine o devo fare qualche altra ...
Il problema da una matrice A = $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) in R(3). $
Chiede di calcolare autovalori ed autovettori e successivamente discuterne la diagonalizzabilità.
Non ho avuto problemi a calcolare autovalori ed autovettori:
Spec(A) = {0,1,3 } $ <br />
mentre gli autovettori costituiscono una base appartenente ad R(3) <br />
B = $ [( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , $ ( ( 2 ),( 2 ),( 3 ) ) ] $
Come fare adesso?
So che devo associare A = C^-1 * Λ * C ad una proprietà delle matrici del cambiamento di base... (Scusate se ...
Salve menti matematiche. Vi chiedo aiuto per un esercizietto che vi sembrerà semplice, ma per me non lo è (forse perchè non ho chiari i concetti chiari al 100%).
Sia $F: M_3(RR)->M_3(RR)$ la traformazione lineare tale che $F(A)=A-A^T$ (A^T è la trasposta di A, non sapevo come scriverla). Determinare il nucleo e l'immagine di F e le loro dimensioni.
Ora vi spiego come ho provato a risolverlo.
$A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$
$F(A)=((0,b-d,c-g),(d-b,0,f-h),(g-c,h-f,0)) => F(A)=(b-d)((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))+(c-g)((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))+(f-h)((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$
Im(F):=
dim(Im(F))=3
Poi però quando ...
Salve,
ho dei dubbi circa queste matrici di Jordan. Vi porto un esempio:
Ho la matrice
4 3 1 2 1 1
0 4 1 1 0 1
0 0 4 −1 2 0
0 0 0 4 1 1
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 4
Vi è un unico autovalore, λ=4 con molteplicità algebrica 6 e dimensione dello spazio 3.
Adesso devo trovare il mio indice di nilpotenza che è il minore che ha determinante nullo (?) Già qui ho qualche dubbio..
Quindi mi sono trovata la matrice
(A-λI):
0 0 3 2 3 5
0 0 0 -1 3 1
0 0 0 0 -1 -1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ...
Ciao a tutti. Premetto che già mi sono presentato.
Vi posto qui di seguito un esercizio del compito di algebra che dovro' svolgere a breve :
Data una funzione f: $ (RR )^(3 ) $ -->$ (RR )^(2) $ tale che f (x,y,z)=(3x+2y+z, x+2y+3z)
1) è Lineare o Affine o Entrambe?
2) calcolare
$ (f )^(-1 ) $(1,2) ; $ (f )^(-1 ) $(0,0); $ (f )^(-1 ) $(-1,1)
3) calcolare
$ (f )^(-1 )$ (A) con A= $ ( (x,y) : $ $(x)^(2)$ + $(y)^(1)$ ...
Salve, ho 2 quiz da porvi dei quali non sono sicuro delle risposte:
1) Siano dati tre piani $\pi_1$,$\pi_2$ e $\pi_3$ a due a due distinti nello spazio $RR^3$.Quale affermazione è vera?
A) comunque siano posizionati i tre piani, esistono dei punti $\P in RR^3$ che sono equidistanti da $\pi_1$,$\pi_2$ e $\pi_3$;
B) per particolari posizioni dei tre piani, esiste una retta in $\RR^3$ formata da punti ...
Matrice complementare $n x n$:
$A_(i j) = ((a_(11), ... , a_(1 (j-1)), 0 , a_(1 (j+1)) , ... , a_(1 n)),( . , " " , " ", . , " " , " " , . ),(0, ... , 0, 1 , 0 , ... , 0),( . , " " , " ", . , " " , " " , . ),(a_(n 1), ... , a_(n (j-1)), 0 , a_(n (j+1)) , ... , a_(n n)))$
$(0, ... , 0, 1 , 0 , ... , 0)$ è la i-esima riga, mentre $((0), (.), (1), (.), (0))$ è la j-esima colonna.
Come mai si introduce questa matrice? A cosa serve?
E poi come si fa a concludere che: $bar (A) A = A bar(A) = ("det"(A)) E_n$ ?
Dove $bar(A)$ è la trasposta della matrice dei cofattori.
Sto cercando di invertire una matrice quadrata con il metodo di Jordan-Gauss. Con il metodo $A^-1= (agg(A))/det(A)$ il risultato mi viene corretto... Ma con l'altro metodo no. Questa è la matrice:
$ 1/a ( ( l^3/3, -l^2/2),( -l^2/2 , l ) ) $
a è una costante... La soluzione è
$ a ( ( 12/l^3, 6/l^2),(6/l^2 ,4/l ) ) $
Non so mettere qui la matrice in forma di Jordan-Gauss, ma per farvi capire voglio usare questo metodo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di_ ... na_matrice
Salve a tutti, è il mio primo post quindi spero di essere nella sezione giusta.
In uno degli esercizi presenti nell'ultimo esonero di algebra lineare che ho fatto, mi veniva chiesto di trovare il determinante per queste due matrici (e di trovare quindi, autovalori e autospazi):
$ ( ( 1 , -3, 3),( 3, -5, 3),( 6, -6, 4) ) $
$ ( (-3 , 1, -3),( -7, 5, -1),( -6, 6, -2) ) $
Io ho provato in vari modi, ma ogni volta mi bloccavo alla fine: mi spiego meglio; dopo aver fatto i vari calcoli, ottenevo un'equazione di terzo grado (in entrambi i casi ...
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