Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, dovrei determinare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti alla matrice:
$A=((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$
Determino gli autovalori:
$det(A-\lambda I)$
$rArr$$det(((1-\lambda),2,0),(2,(4-\lambda),0),(0,0,(1-\lambda)))$
$rArr$$\lambda=0;\lambda=1;\lambda=5$
e fino a qui sono piuttosto sicuro.
Ora dovrei determinare gli autospazi corrispondenti a tali autovalori, e qui iniziano i problemi :
Per $\lambda=0$
$((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$$((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
ovvero:
$\{(x+2y=0),(2x+4y=0),(z=0):}$ la prima e la seconda sono uguali, ...
Buona sera a tutti ragazzi. E' tutto il pomeriggio che mi sto scervellando su una cosa apparentemente semplicissima, eppure che mi sta facendo impazzire! A breve ho un esame e mi sento sconfortata al pensiero di non riuscire a capire perchè non mi viene questo esercizio. Comunque spero che mi possiate aiutare:
Ho un'equazione del piano x + y - z = 0 e devo vedere questo piano è parallelo alla retta 2X = Y - Z = 3
Vi dico come ho provato a procedere: ho trasformato l'equazione della ...
Dovrei disegnare il grafico di queste due funzioni:
$h(x)=|x^2+3x+2|$ e $m(x)=x-[x]$
La prima ho provato a scomporla con ruffini trovando:
$|(x+1)(x+2)|$ ma il grafico non riesco a farlo...
Per la seconda non capisco cosa voglia dire $[x]$
Come posso partire?
Vorrei sapere quale procedimento c'è dietro questo esercizio:
Sia f : R^4 -> R^4 l'applicazione lineare tale che:
Ker(f) :=$ {f(x; y; z;w) in R^(4) // 2x+y = 2z+w = 0 } $ ;
V2 := $ {f(x; y; z;w) in R^(4) // y-z = x-w = 0 } $.
L'immagine del vettore (0; 3; 0; 3) è il vettore:
1) non si può calcolare con i dati a disposizione
2) (2; 2; 2; 2)
3) nessuna delle altre risposte
4) (2; 0; 2; 0)
5) (0; 2; 0; 2)
La soluzione giusta è la 2); qualcuno sa spiegarmi il procedimento??
Grazie anticipatamente per la risposta!
Date le rette:
$r: x-y=2x-z+5=0$
$s: x-y-6=x-2y+z-6=0<br />
$t: 3x-2y+2=3y+z-4=0
Come posso trovare una retta l parallela a t che interseca sia r che s...?
Ho visto che le rette r ed s sono sghmbe....e i paramentri direttori della retta t, e quinsi anche di l, sono $(2/3,-1/3,1)$
MA come posso continuare...?non ho più ide...
Salve a tutti!
Ho un esercizio da proporvi, perchè ho alcuni dubbi sul suo svolgimento:
Sia $V$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(1,0,1,1)$, $v_2=(0,1,1,0)$, $v_3=(0,0,-1,0)$ e si consideri l'applicazione lineare $f:V rarr RR^4$ tale che:
$f(v_1)=(lambda-1,0,2,lambda-1)$
$f(v_2)=(lambda-2,2,2,0)$
$f(v_3)=(0,2-lambda,2,2(lambda-2))$
a) verificare che $f$ è iniettiva per ogni $lambda in RR$.
b) determinare $lambda$ in modo che ...
Ciao a tutti
Ho un problema su un esercizio forse banale!
devo verificare se i vettori: v= ( 1,2,3,4 ), W= ( 4,3,2,1 ) e u= ( 2,0,2,3 ) sono linearmente indipendenti. Come devo procedere, devo mettere tutto a sistema ma non so come fare.....cioè da dove si vede se dei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti...io dalla teoria ho capito che 2 equazioni sono tra loro dipendenti se è possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso ...
Salve ragazzi, data la matrice:
A=$( (5*i , 2 , -7), (3 , 1+2*i , -1),(6 ,-2,4)) *1/20$
Per vedere se è convergente , ne trovo gli autovalori e vedo se hanno tutti modulo minore di $1$?
O ci sono metodi più veloci?
Grazie
Ciao a tutti, in questo esercizio ho due spazi vettoriali H e K con le relative basi e devo determinare la dimensione della loro intersezione e la conseguente base.
H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $
Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3.
Cerco dim(H+K):
(H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $
e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $
segue che rg(H+K)=4=dim(H+K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H+K)=2+3-4=1.
Ora, per trovare la base ...
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto urgente per due esercizi di geometria perchè domani ho l'esame e non so come farli, per favore aiutatemi... Per favore,oltre a dirmi la risposta, potete scrivermi il procedimeno da utilizzare per risolverli? Grazie anticipatamente
Esercizio 1: la retta per A (3,-1,1) ortogonale alle retta r:[x=h, y=-h+1, z=2] ed s:[x=3 , y=h, z=-2h-1],
1) è incidente r e s?
2) è incidente r ma non s?
3) è incidente s ma non r?
4) non è incidente nè r nè ...
Salve, avrei un problema riguardante questo esercizio:
Veri care che v = (1; 0; 0; 1) è autovettore dell'applicazione lineare T così defi nita
$ T(x1; x2; x3; x4) = (2x1 - 2x3, -x1 + 2x2 + x3 + x4, x3, x1 - 2x3 + x4) $
Determinare inoltre il relativo autovalore.
Allora, il problema è questo: io ho la soluzione di questo esercizio perché l'ho preso da un pdf con esercizi di geometria svolti, solo che lo risolve in questo modo:
$ T(1, 0, 0, 1) = (2, -1 + 1, 0, 1 + 1) = (2, 0, 0, 2) = 2 * v $ => v è autovettore dell'autovalore associato a 2.
In pratica sostituisce l'autovettore ...
Ciao a tutti, riporto qui un esercizio d'esempio che ho trovato nella vostra guida "algebra lineare for dummies":
Esempio. Sia $T:RR_2[t] to RR_2[t]$ definita da:
$T(1)=t^2," "T(t)=-1+t+t^2," "T(t^2)=t^2$
con base $B=\{1,t,t^2\}$.
La matrice associata a $T$ rispetto a $B$ si trova subito, in quanto abbiamo le immagini degli elementi della base: $A=((0,-1,0),(0,1,0),(1,1,1))$.
Per trovare gli autovalori esaminiamo il polinomio caratteristico della matrice $(A-lambda I_3)=((-lambda,-1,0),(0,1-lambda,0),(1,1,1-lambda))$ e troviamo, come ...
Non mi ricordo se una matrice per essere definita positiva basta avere tutti gli autovalori positivi o gli serve anche la proprietà di simmetria.
Cioè A definita positiva se:
A e simmetrica con autovalori positivi
A ha autovalori positivi.
O il dubbio che non basta avere solo autovalori positivi...
Grazie.
Ho un esercizio semi svolto che non capisco
Consideriamo in $RR^4$ i vettori
$u_1=(1,-1,3,2)\ u_2=(-2,1,0,1)\ w_1=(1,1,-3,-2),\ w_2=(0,1,0,1) \ U=Span(u_1,u_2) \ W=Span(w_1,w_2)$
Trovare $dim(U+V)$ e $dim(U\cap W)$
Consideriamo la matrice dlele componenti dei 4 vettori per trovare dim della somma
$dim(U+V)\ =\ ((1,-2,1,0),(-1,1,1,1),(3,0,-3,0),(2,1,-2,1))\ => \ ((1,-2,1,0),(0,-1,2,1),(0,0,6,6),(0,0,0,0))=S$
$dim(U+V)\ =\ r(a)\ =\ 3$
Una base è data dai vettori $u_1,u_2,w_1$ $B_(U+W)={u_1,u_2,w_1}$
$dim(U\capW)\ =\ dimU\ +\ dimW\ - \ dim(U+W)\ =\ 2 \ +\ 2\ -\ 3\ =\ 1$ Fin qui tutto ok...
Una base dell'intersezione si determina considerando la matrica A formata dalle basi dei due spazio ...
l'esercizio mi dice sistema lineare nelle incognite x,y,z appartenenti ad R al variare di k discutere la risolubilità e le eventuali soluzioni:
$ { ( x+y+z=3k ),( 4y+6x=0 ),( -ky+2z=-10 ),( 2x+y+z=-3k ):} $
La matrice incompleta mi esce una 4x3 percio non posso trovare il determinante..Faccio il determinante della matrice completa:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , 3k ),( 6 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , -k , 2 , -10 ),( 2 , 1 , 1 , -3k ) ) $
uso Laplace sviluppando per la seconda riga, per ridurla a due matrici 3x3 (in cui uso Sarrus):
$ 6*Det( ( 0 , 1 , 3k ),( -k , 2 , -10 ),( 1 , 1 , -3k ) ) $ => $ (0-10-3k^2)-(6k+3k^2+0)=>6(-6k^2-6k-10) $ => $ -36k^2-36k-60 $
e l'altra matrice:
...
Ho una matrice:
$((5,0,1),(0,3,0),(2,0,4))$
e mi viene chiesto di determinare:
a) gli autovalori della matrice e le loro molteplicitá algebriche;
b) equazioni degli autospazi della matrice, specificando basi e dimensioni;
c) una eventuiale matrice diagonale D che rappresenti l operatore A e la matrice diagonalizzante relativa a D;
d) le componenti di un vettore v di $R^3$ non appartenente ad alcun autospazio;
Allora io ho fatto questa elaborazione:
a) calcolo gli autovalori ...
Buongiorno !sono alle prese con il calcolo di un sistema lineare con parametrizzazione h che mi porta ad un matrice associata 4*3,dovendone calcolare il rango per poi confrontarlo con quello della matrice completa(per osservare se risolubile o meno e per che valori di h) ovviamente devo calcolarmi il determinante della matrice associata, ma e' possibile calcolarlo a mio piacere eliminando una colonna a piacere(magari quella più "brutta" con tanti coefficienti parametrici)???vi prego di ...
Salve a tutti. Ho delle difficoltà con un problema di geometria spaziale. Devo trovare una retta che passa per il punto (5,6,7) e forma angoli uguali con gli assi coordinati. Non so come fare, potete darmi una mano? Vorrei capire bene come si scrive una retta per un punto nello spazio e come si impone che formi angoli uguali con gli assi. Grazie a tutti per l'aiuto!
mi aiutate a svolgere questo esercizio?
Trovare delle carte di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che ricoprano la superficie a ciambella con la seguente equazione:
[tex]\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&x=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot cos(\beta) \\
&y=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot sin(\beta) \\
&z= r \cdot sin(\alpha)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}[/tex]
riesco a dimostrare che è localmente euclideo solo facendo vedere che esiste un omeomorfismo tra la ciambella ed il toro 2, ...
Salve ragazzi, qualcuno di voi vede un metodo veloce per calcolare gli autovalori di:
$( (3 , 1 , 1 , 1), (1 , 3 , 1 , 1), (1 , 1 ,3 , 1),(1 ,1,1,3)) $
Per via algerbrica 'normale' sembra esageratamente lungo?
Grazie?
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