Geometria e Algebra Lineare

Ciao a tutti... Studiando le partizioni dell'unità sul Sernesi, mi trovo di fronte l'implicita affermazione che se [tex]K \subseteq \mathbb R^n[/tex] è un compatto, allora la funzione [tex]\mathbb R^n \ni \mathbf{x} \to \text{d}(\mathbf{x},K):= \min\{\text{d}(\mathbf{x},\mathbf{y}), \: \mathbf{y} \in K\}[/tex] è una funzione differenziabile di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]. Passi la continuità, ma non riesco a dimostrare nemmeno che è di classe [tex]\mathcal{C}^{(1)}[/tex]... ...

Determinare le equazioni della retta passante per il punto $P=(1,-1,2)$ perpendicolare e incidente alla retta $r: x-z=2x+y-2z=0$ Ho trovato i parametri direttori di r: $(1,0,1)$ E quindi posso dedurre che la retta che cerchiamo sia di questo tipo: $ x=1+nt, y=-1+mt, z=2-nt$ Ma ora come faccio a trovare i valori di n e m?ho utilizzato tutte le informazioni, no?

Salve, dovrei determinare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti alla matrice: $A=((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$ Determino gli autovalori: $det(A-\lambda I)$ $rArr$$det(((1-\lambda),2,0),(2,(4-\lambda),0),(0,0,(1-\lambda)))$ $rArr$$\lambda=0;\lambda=1;\lambda=5$ e fino a qui sono piuttosto sicuro. Ora dovrei determinare gli autospazi corrispondenti a tali autovalori, e qui iniziano i problemi : Per $\lambda=0$ $((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$$((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ ovvero: $\{(x+2y=0),(2x+4y=0),(z=0):}$ la prima e la seconda sono uguali, ...

Buona sera a tutti ragazzi. E' tutto il pomeriggio che mi sto scervellando su una cosa apparentemente semplicissima, eppure che mi sta facendo impazzire! A breve ho un esame e mi sento sconfortata al pensiero di non riuscire a capire perchè non mi viene questo esercizio. Comunque spero che mi possiate aiutare: Ho un'equazione del piano x + y - z = 0 e devo vedere questo piano è parallelo alla retta 2X = Y - Z = 3 Vi dico come ho provato a procedere: ho trasformato l'equazione della ...

Dovrei disegnare il grafico di queste due funzioni: $h(x)=|x^2+3x+2|$ e $m(x)=x-[x]$ La prima ho provato a scomporla con ruffini trovando: $|(x+1)(x+2)|$ ma il grafico non riesco a farlo... Per la seconda non capisco cosa voglia dire $[x]$ Come posso partire?

Vorrei sapere quale procedimento c'è dietro questo esercizio: Sia f : R^4 -> R^4 l'applicazione lineare tale che: Ker(f) :=$ {f(x; y; z;w) in R^(4) // 2x+y = 2z+w = 0 } $ ; V2 := $ {f(x; y; z;w) in R^(4) // y-z = x-w = 0 } $. L'immagine del vettore (0; 3; 0; 3) è il vettore: 1) non si può calcolare con i dati a disposizione 2) (2; 2; 2; 2) 3) nessuna delle altre risposte 4) (2; 0; 2; 0) 5) (0; 2; 0; 2) La soluzione giusta è la 2); qualcuno sa spiegarmi il procedimento?? Grazie anticipatamente per la risposta!

Date le rette: $r: x-y=2x-z+5=0$ $s: x-y-6=x-2y+z-6=0<br /> $t: 3x-2y+2=3y+z-4=0 Come posso trovare una retta l parallela a t che interseca sia r che s...? Ho visto che le rette r ed s sono sghmbe....e i paramentri direttori della retta t, e quinsi anche di l, sono $(2/3,-1/3,1)$ MA come posso continuare...?non ho più ide...

Salve a tutti! Ho un esercizio da proporvi, perchè ho alcuni dubbi sul suo svolgimento: Sia $V$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(1,0,1,1)$, $v_2=(0,1,1,0)$, $v_3=(0,0,-1,0)$ e si consideri l'applicazione lineare $f:V rarr RR^4$ tale che: $f(v_1)=(lambda-1,0,2,lambda-1)$ $f(v_2)=(lambda-2,2,2,0)$ $f(v_3)=(0,2-lambda,2,2(lambda-2))$ a) verificare che $f$ è iniettiva per ogni $lambda in RR$. b) determinare $lambda$ in modo che ...

Ciao a tutti Ho un problema su un esercizio forse banale! devo verificare se i vettori: v= ( 1,2,3,4 ), W= ( 4,3,2,1 ) e u= ( 2,0,2,3 ) sono linearmente indipendenti. Come devo procedere, devo mettere tutto a sistema ma non so come fare.....cioè da dove si vede se dei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti...io dalla teoria ho capito che 2 equazioni sono tra loro dipendenti se è possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso ...

Salve ragazzi, data la matrice: A=$( (5*i , 2 , -7), (3 , 1+2*i , -1),(6 ,-2,4)) *1/20$ Per vedere se è convergente , ne trovo gli autovalori e vedo se hanno tutti modulo minore di $1$? O ci sono metodi più veloci? Grazie

Ciao a tutti, in questo esercizio ho due spazi vettoriali H e K con le relative basi e devo determinare la dimensione della loro intersezione e la conseguente base. H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $ Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3. Cerco dim(H+K): (H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $ e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $ segue che rg(H+K)=4=dim(H+K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H+K)=2+3-4=1. Ora, per trovare la base ...

Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto urgente per due esercizi di geometria perchè domani ho l'esame e non so come farli, per favore aiutatemi... Per favore,oltre a dirmi la risposta, potete scrivermi il procedimeno da utilizzare per risolverli? Grazie anticipatamente Esercizio 1: la retta per A (3,-1,1) ortogonale alle retta r:[x=h, y=-h+1, z=2] ed s:[x=3 , y=h, z=-2h-1], 1) è incidente r e s? 2) è incidente r ma non s? 3) è incidente s ma non r? 4) non è incidente nè r nè ...

Salve, avrei un problema riguardante questo esercizio: Vericare che v = (1; 0; 0; 1) è autovettore dell'applicazione lineare T così definita $ T(x1; x2; x3; x4) = (2x1 - 2x3, -x1 + 2x2 + x3 + x4, x3, x1 - 2x3 + x4) $ Determinare inoltre il relativo autovalore. Allora, il problema è questo: io ho la soluzione di questo esercizio perché l'ho preso da un pdf con esercizi di geometria svolti, solo che lo risolve in questo modo: $ T(1, 0, 0, 1) = (2, -1 + 1, 0, 1 + 1) = (2, 0, 0, 2) = 2 * v $ => v è autovettore dell'autovalore associato a 2. In pratica sostituisce l'autovettore ...

Ciao a tutti, riporto qui un esercizio d'esempio che ho trovato nella vostra guida "algebra lineare for dummies": Esempio. Sia $T:RR_2[t] to RR_2[t]$ definita da: $T(1)=t^2," "T(t)=-1+t+t^2," "T(t^2)=t^2$ con base $B=\{1,t,t^2\}$. La matrice associata a $T$ rispetto a $B$ si trova subito, in quanto abbiamo le immagini degli elementi della base: $A=((0,-1,0),(0,1,0),(1,1,1))$. Per trovare gli autovalori esaminiamo il polinomio caratteristico della matrice $(A-lambda I_3)=((-lambda,-1,0),(0,1-lambda,0),(1,1,1-lambda))$ e troviamo, come ...

Non mi ricordo se una matrice per essere definita positiva basta avere tutti gli autovalori positivi o gli serve anche la proprietà di simmetria. Cioè A definita positiva se: A e simmetrica con autovalori positivi A ha autovalori positivi. O il dubbio che non basta avere solo autovalori positivi... Grazie.

Ho un esercizio semi svolto che non capisco Consideriamo in $RR^4$ i vettori $u_1=(1,-1,3,2)\ u_2=(-2,1,0,1)\ w_1=(1,1,-3,-2),\ w_2=(0,1,0,1) \ U=Span(u_1,u_2) \ W=Span(w_1,w_2)$ Trovare $dim(U+V)$ e $dim(U\cap W)$ Consideriamo la matrice dlele componenti dei 4 vettori per trovare dim della somma $dim(U+V)\ =\ ((1,-2,1,0),(-1,1,1,1),(3,0,-3,0),(2,1,-2,1))\ => \ ((1,-2,1,0),(0,-1,2,1),(0,0,6,6),(0,0,0,0))=S$ $dim(U+V)\ =\ r(a)\ =\ 3$ Una base è data dai vettori $u_1,u_2,w_1$ $B_(U+W)={u_1,u_2,w_1}$ $dim(U\capW)\ =\ dimU\ +\ dimW\ - \ dim(U+W)\ =\ 2 \ +\ 2\ -\ 3\ =\ 1$ Fin qui tutto ok... Una base dell'intersezione si determina considerando la matrica A formata dalle basi dei due spazio ...

l'esercizio mi dice sistema lineare nelle incognite x,y,z appartenenti ad R al variare di k discutere la risolubilità e le eventuali soluzioni: $ { ( x+y+z=3k ),( 4y+6x=0 ),( -ky+2z=-10 ),( 2x+y+z=-3k ):} $ La matrice incompleta mi esce una 4x3 percio non posso trovare il determinante..Faccio il determinante della matrice completa: $ ( ( 1 , 0 , 1 , 3k ),( 6 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , -k , 2 , -10 ),( 2 , 1 , 1 , -3k ) ) $ uso Laplace sviluppando per la seconda riga, per ridurla a due matrici 3x3 (in cui uso Sarrus): $ 6*Det( ( 0 , 1 , 3k ),( -k , 2 , -10 ),( 1 , 1 , -3k ) ) $ => $ (0-10-3k^2)-(6k+3k^2+0)=>6(-6k^2-6k-10) $ => $ -36k^2-36k-60 $ e l'altra matrice: ...

Ho una matrice: $((5,0,1),(0,3,0),(2,0,4))$ e mi viene chiesto di determinare: a) gli autovalori della matrice e le loro molteplicitá algebriche; b) equazioni degli autospazi della matrice, specificando basi e dimensioni; c) una eventuiale matrice diagonale D che rappresenti l operatore A e la matrice diagonalizzante relativa a D; d) le componenti di un vettore v di $R^3$ non appartenente ad alcun autospazio; Allora io ho fatto questa elaborazione: a) calcolo gli autovalori ...

Buongiorno !sono alle prese con il calcolo di un sistema lineare con parametrizzazione h che mi porta ad un matrice associata 4*3,dovendone calcolare il rango per poi confrontarlo con quello della matrice completa(per osservare se risolubile o meno e per che valori di h) ovviamente devo calcolarmi il determinante della matrice associata, ma e' possibile calcolarlo a mio piacere eliminando una colonna a piacere(magari quella più "brutta" con tanti coefficienti parametrici)???vi prego di ...

Salve a tutti. Ho delle difficoltà con un problema di geometria spaziale. Devo trovare una retta che passa per il punto (5,6,7) e forma angoli uguali con gli assi coordinati. Non so come fare, potete darmi una mano? Vorrei capire bene come si scrive una retta per un punto nello spazio e come si impone che formi angoli uguali con gli assi. Grazie a tutti per l'aiuto!