Determinante matrice per trovare autovalori
Salve a tutti, è il mio primo post quindi spero di essere nella sezione giusta.
In uno degli esercizi presenti nell'ultimo esonero di algebra lineare che ho fatto, mi veniva chiesto di trovare il determinante per queste due matrici (e di trovare quindi, autovalori e autospazi):
$ ( ( 1 , -3, 3),( 3, -5, 3),( 6, -6, 4) ) $
$ ( (-3 , 1, -3),( -7, 5, -1),( -6, 6, -2) ) $
Io ho provato in vari modi, ma ogni volta mi bloccavo alla fine: mi spiego meglio; dopo aver fatto i vari calcoli, ottenevo un'equazione di terzo grado (in entrambi i casi senza il termine di secondo grado). Semplificando (con Ruffini), arrivavo ad un'equazione di secondo grado che, però, mi dava come risultato sempre delle radici (e sono sicuro che non deve essere così, in quanto sono esercizi semplici). Quindi vi chiedo se potete farmi vedere come avreste calcolato voi il determinante, perchè magari sbaglio in qualche passaggio e non me ne accorgo. Grazie in anticipo.
In uno degli esercizi presenti nell'ultimo esonero di algebra lineare che ho fatto, mi veniva chiesto di trovare il determinante per queste due matrici (e di trovare quindi, autovalori e autospazi):
$ ( ( 1 , -3, 3),( 3, -5, 3),( 6, -6, 4) ) $
$ ( (-3 , 1, -3),( -7, 5, -1),( -6, 6, -2) ) $
Io ho provato in vari modi, ma ogni volta mi bloccavo alla fine: mi spiego meglio; dopo aver fatto i vari calcoli, ottenevo un'equazione di terzo grado (in entrambi i casi senza il termine di secondo grado). Semplificando (con Ruffini), arrivavo ad un'equazione di secondo grado che, però, mi dava come risultato sempre delle radici (e sono sicuro che non deve essere così, in quanto sono esercizi semplici). Quindi vi chiedo se potete farmi vedere come avreste calcolato voi il determinante, perchè magari sbaglio in qualche passaggio e non me ne accorgo. Grazie in anticipo.
Risposte
Il primo: $|(1-lambda, -3, 3),(3, -5-lambda, 3),(6, -6, 4-lambda)|$
Lo sviluppo lungo la prima riga.
$(1-lambda)(-20+5lambda-4lambda+lambda^2+18)-3(18-12+3lambda)+3(-18+30+6lambda)$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)-3(3lambda+6)+3(6lambda+12)$
$(1-lambda)(lambda+2)(lambda-1)-6(lambda+2)+18(lambda+2)$
$(lambda+2)[(1-lambda)(lambda-1)-6+18]$ Ora ti basta sviluppare i conti dentro la parentesi quadra.
Lo sviluppo lungo la prima riga.
$(1-lambda)(-20+5lambda-4lambda+lambda^2+18)-3(18-12+3lambda)+3(-18+30+6lambda)$
$(1-lambda)(lambda^2+lambda-2)-3(3lambda+6)+3(6lambda+12)$
$(1-lambda)(lambda+2)(lambda-1)-6(lambda+2)+18(lambda+2)$
$(lambda+2)[(1-lambda)(lambda-1)-6+18]$ Ora ti basta sviluppare i conti dentro la parentesi quadra.
Grazie mille per la risposta, mi hai fatto capire dove sbagliavo (correggimi se sbaglio di nuovo 
): io il determinante lo facevo senza alternare il segno tra una moltiplicazione e l'altra (ad es. (1-λ)(-20+5λ-4λ+λ2+18)+3(18-12+3λ)+3(-18+30+6λ)), mentre invece, da quanto ho capito, la prima moltiplicazione va fatta con il +, la seconda con il -, la terza con il + e così via per le altre (giusto?).
): io il determinante lo facevo senza alternare il segno tra una moltiplicazione e l'altra (ad es. (1-λ)(-20+5λ-4λ+λ2+18)+3(18-12+3λ)+3(-18+30+6λ)), mentre invece, da quanto ho capito, la prima moltiplicazione va fatta con il +, la seconda con il -, la terza con il + e così via per le altre (giusto?).
Non è così. Nel senso: $1-lambda$ occupa la posizione $1,1$. $1+1$ è pari, quindi segno $+$.
$-3$ occupa la posizione $1,2$, $1+2$ è dispari, quindi ci vorrebbe un $-$ davanti al $-3$. Non l'ho messo perché poi ho invertito i segni dentro la parentesi tonda.
$-3$ occupa la posizione $1,2$, $1+2$ è dispari, quindi ci vorrebbe un $-$ davanti al $-3$. Non l'ho messo perché poi ho invertito i segni dentro la parentesi tonda.
Ah, quindi si mette segno + per i valori che occupano una posizione pari e segno - per i dispari, giusto?
Sì.
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