Esercizio su applicazione lineare

alexinfurs
Salve a tutti. Ho il seguente esercizio:

Esiste un’applicazione lineare f di $RR^3$ in
$RR^3$ tale che f (1, 1, 0) = (0, 0, 0), f (0, 1, 2) = (1, 0, 1) e f (1, 2, 2) = (-1, 0, 0)?

(Suggerimento : si osservi che i vettori (1, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 2, 2) sono linearmente dipendenti .... )

Allora, nelle applicazioni lineari f conserva la dipendenza lineare, quindi, essendo i vettori delle immagini linearmente dipendenti (è presente il vettore nullo) mi verrebbe da rispondere si.
Solo che il teorema non dice che se le immagini sono anch'esse dipendenti allora esiste per forza un'applicazione lineare...

E se l'esercizio mi chiedesse, eventualmente, di trovare la f, la cosa sarebbe fattibile? come?

Grazie come sempre a tutti e buona giornata!

Risposte
Steven11
Un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale [tex]$V$[/tex] in un altro [tex]$W$[/tex] manda il vettore nullo di $V$ nel vettore nullo di $W$.
Prova a dimostrarlo (è una riga).

Quindi la risposta è immediata ed è che non esiste un'applicazione lineare siffatta.

alexinfurs
Scusa, ma ora mi sorgono ancora più dubbi...
La definizione che hai dato non è quella di applicazione lineare iniettiva, in cui il Ker f=0?

Steven11
Io ho detto solo che il vettore nullo del dominio viene mandato nel vettore nullo del codominio.
Non ho detto che solo lui va nello zero, eventualmente anche l'immagine di altri vettori può essere zero (proprio i vettori del ker).

Tu non sai a priori quali sono i vettori che vanno in zero, cioè tali che [tex]$f(v)=0$[/tex] (con $0$ sto intendendo il vettore nullo del codominio), però sicuramente sai che almeno lo zero del dominio ci fa, cioè [tex]$f(0)=0$[/tex]

La dimostrazione è semplice: se hai l'applicazione lineare [tex]$f: V \to W$[/tex] e chiami [tex]$\vec{0}_V$[/tex] e [tex]$\vec{0}_W$[/tex] i vettori nulli di $V$ e $W$ (nel tuo caso sarebbe in entrambi i casi [tex]$(0,0,0)$[/tex]) allora hai

[tex]$f(\vec{0}_V)=f(0\cdot \vec{0}_V)= 0\cdot f(\vec{0}_V)= \vec{0}_W$[/tex]

Ti torna?
Ciao. :wink:

alexinfurs
Si, ma su questa dimostrazione non ho nessun dubbio.
Non capisco la conseguenza rispetto all'esercizio, mi spiego:

$f (1, 1, 0) = (0, 0, 0)$
$f (0, 1, 2) = (1, 0, 1)$
$f (1, 2, 2) = (-1, 0, 0)$

Sappiamo che il vettore $(1, 1, 0)$ $in$ Ker
e che i vettori $(1, 1, 0)$, $(0, 1, 2)$, $(1, 2, 2)$ sono linearmente dipendenti (come suggerito nel testo dell'esercizio)

Dalla dimostrazione che hai postato, la risposta sarebbe stata immediata se ci fosse stato $f(0,0,0) != (0,0,0)$

Mi aiuti a capire??? :oops:
Grazie infinite per la disponibilità.

Steven11
Ok, devi perdonarmi: ieri ero out a quanto pare e ho visto cose inesistenti.
Ovviamente il fatto da me enunciato è vero, ma non si applica all'esercizio.

L'esercizio si inizia (e si conclude) sommando le prime due equazioni

[tex]$f(1,1,0)+f(0,1,2)=(0,0,0)+(1,0,1)$[/tex] cioè per linearità

[tex]$f(1,2,2)=(1,0,1)$[/tex]

cioè le prime due equazioni sono incompatibili con la terza (secondo la terza l'immagine di $(1,1,2)$ è diversa).

La lineare dipendenza è centrale: infatti hai potuto esprimere il terzo vettore $(1,2,2)$ come combinazione lineare degli altri due (la semplice somma).
Se avessi avuto lineare indipendenza, non potevi affidarti a questo tentativo: anzi c'è un teorema ben preciso che ti avrebbe detto il contrario.
Infatti con 3 vettori linearmente indipendenti (cioè una base), assegnando le relative immagini arbitrariamente hai definito un'applicazione lineare (unica).

Ciao e scusa ancora per la confusione.

alexinfurs
Ciao, chiedo scusa se non ti ho ringraziato subito ma solo ora ho notato la tua risposta.
Sei stato molto chiaro e disponibile.

Grazie ancora!

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