Esercizi algebra lineare
Ciao, qualcuno potrebbe suggerirmi un metodo per svolgere questi esercizi di algebra lineare e geometria?? grazieeeeeeee
1) scrivere la formula dell'affinità del piano data
dalla simmetria rispetto alla retta di equazione 2x+y-1=0
2) consideriamo i seguenti elementi dello spazio vettoriale delle funzioni
reali a variabili reali:
cos(2x), sin(2x), cos^2(x), sin^2(x). quali si tali elementi dipendono
linearmente dagli altri? qual è il numero massimo di elementi linearmente
indipendenti da essi?
3) si consideri lo spazio vettoriale reale F delle funzioni che sono
combinazione lineare delle funzioni:
x^2 + x, x^2 +1, x+1, x^2 + x +1, |x + 1|
si scriva una qualsiasi base di F (in generale data una serie di funzioni come
si fa a vedere quali dipendono linearmente dalle altre?)
1) scrivere la formula dell'affinità del piano data
dalla simmetria rispetto alla retta di equazione 2x+y-1=0
2) consideriamo i seguenti elementi dello spazio vettoriale delle funzioni
reali a variabili reali:
cos(2x), sin(2x), cos^2(x), sin^2(x). quali si tali elementi dipendono
linearmente dagli altri? qual è il numero massimo di elementi linearmente
indipendenti da essi?
3) si consideri lo spazio vettoriale reale F delle funzioni che sono
combinazione lineare delle funzioni:
x^2 + x, x^2 +1, x+1, x^2 + x +1, |x + 1|
si scriva una qualsiasi base di F (in generale data una serie di funzioni come
si fa a vedere quali dipendono linearmente dalle altre?)
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in "geometria e algebra lineare". Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Dovresti mettere le tue riflessioni, se no e' difficile che qualcuno si senta stimolato a rispondere.
Ti propongo qualche riflessione.
1) E' un esercizio di geometria analitica delle superiori. Puoi prendere un punto generico e spostarlo del vettore ortogonale alla retta data e diretta verso la stessa, di modulo il doppio della distanza del punto dalla retta (se fai un disegno ti risulta chiaro). Un altro modo e' rototraslare il sistema in modo che la retta data vada a coincidere con l'asse [tex]x[/tex], poi applicare la riflessione rispetto all'asse [tex]x[/tex] (cioe' la mappa [tex](x,y) \mapsto (x,-y)[/tex]), quindi applicare la rototraslazione inversa.
2) Per esempio per dimostrare che [tex]\cos^2(x)[/tex] e [tex]\sin^2(x)[/tex] sono indipendenti, scrivi una generica combinazione lineare uguagliata a zero, [tex]a \cos^2(x)+b \sin^2(x)=0[/tex]. Osserva che tale uguaglianza deve valere per ogni [tex]x[/tex]. Per dimostrare che [tex]a=b=0[/tex] sostituisci ad [tex]x[/tex] valori opportuni. In questo caso e' conveniente mettere [tex]x=0[/tex] e [tex]x=\pi/2[/tex]. Questo vale anche per il punto 3).
3) Vedi sopra.
Ti propongo qualche riflessione.
1) E' un esercizio di geometria analitica delle superiori. Puoi prendere un punto generico e spostarlo del vettore ortogonale alla retta data e diretta verso la stessa, di modulo il doppio della distanza del punto dalla retta (se fai un disegno ti risulta chiaro). Un altro modo e' rototraslare il sistema in modo che la retta data vada a coincidere con l'asse [tex]x[/tex], poi applicare la riflessione rispetto all'asse [tex]x[/tex] (cioe' la mappa [tex](x,y) \mapsto (x,-y)[/tex]), quindi applicare la rototraslazione inversa.
2) Per esempio per dimostrare che [tex]\cos^2(x)[/tex] e [tex]\sin^2(x)[/tex] sono indipendenti, scrivi una generica combinazione lineare uguagliata a zero, [tex]a \cos^2(x)+b \sin^2(x)=0[/tex]. Osserva che tale uguaglianza deve valere per ogni [tex]x[/tex]. Per dimostrare che [tex]a=b=0[/tex] sostituisci ad [tex]x[/tex] valori opportuni. In questo caso e' conveniente mettere [tex]x=0[/tex] e [tex]x=\pi/2[/tex]. Questo vale anche per il punto 3).
3) Vedi sopra.
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