Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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quesito molto carino che mi hanno passato a scuola:
determinare una condizione necessaria e sufficente su una matrice M affinchè esista una matrice $A$ tale che $M=A*At$
con $At$ intendo la matrice trasposta di A.
il quesito è sicuramente risolubile se A è a coeficenti reali o complessi; purtroppo non so garantire che sia umanamente fattibile se A è a coeficenti in un campo K qualsiasi(credo ci voglia una conoscenza della teoria piu matura della mia per ...
Ciao ragazzi sono nuovo è ho bisogno di un vostro aiuto su questo esercizio. Per favore mi aiutate?
Siano $ a in R $ e Fa $ Fa : RR^3rarr RR ^3 $ l'endomorfismo del 3-spazio numerico reale destro $ RR ^3 $ definito assumendo $ Fa(v)=( ( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ),( 2ax + (8+a)y - az ) ) in R^3 $ se $ v=( ( x ),( y ),( z ) ) in R^3$ . Determinare la dimensione e una base di $Ker Fa$. Determinare gli autovalori e gli autospazi di Fa. L'endomorfisfmo Fa è diagonalizzabile? Se si, determinare le basi di $R^3$ diagonalizzanti Fa
Ciao!!!
non riesco a capire una cosa:data una forma bilineare $\phi(u,v)$ devo dimostrare che sia effettivamente bilineare.
quindi devo mostrare che vale che
$\phi(\alphau+\betav,w)=\alpha\phi(u,w)+\beta\phi(v,w)$
e
$\phi(w,\alphau+\betav)=\alpha\phi(w,u)+\beta\phi(w,v)$
ora supponiamo che la mia forma bilineare sia
$\phi:M_2*M_2\toRR$
$\phi(A,B)=tr(AB)$
devo dimostrarne la bilinearità.
supponiamo che $A=A_1+A_2$.
allora avremo che
$\phi(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr[\alpha(A_1B)]+tr[\beta(A_2B)]=\alpha*tr(A_1B)+\beta*tr(A_2B)=\alpha\phi(A_1,B)+\beta\phi(A_2,B)$
potrebbe andare?
non sono sicura di aver capito come si dimostra la bilinearità.
un ...
Buonasera! Ho fatto l'esame di Geometria, fortunatamente tutto bene... Solo un paio di correzioni che on ho capito. La prima, riguardo un'applicazione lineare; la seconda, riguardo una conica. Ora vi posto l'esercizio
1) "Dato l'omomorfismo $f: (x,y)inR^2->(-2x+y,-x,y,-x+y)inR^4$, si stabilisca quanti vettori hanno per immagine $(0,-1,2,1)$, e quanti $(1,1,-1,0)$".
Questo esercizio l'ho risolto in questo modo: ho trovato le immagini dei vettori della base canonica, ...
salve!!!
ho un dubbio su un passaggio che mi permette di determinare l'endomorfismo esplicito.
supponiamo di operare nello spazio vettoriale $RR^4$, e supponiamo che
$B={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}$ sia una base di $RR^4$
dobbiamo determinare l'unico endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che
$f((1,1,1,1))=(1,1,1,1)$
$f((1,1,1,0))=(1,1,0,0)$
$f((1,1,0,0))=(0,0,0,0)$
$f((1,0,0,0))=(1,1,1,1)$
io l'ho risolto in questo modo:
$f(x,y,z,t)=f(x(1,1,1,1)+y(1,1,1,0)+z(1,1,0,0)+t(1,0,0,0))=$ (per la linearità di ...
Vi propongo due esercizi proposti all'esame di geometria di un paio di settimane fa:
1) Trovare l'equazione della retta s passante per D(-2, 1, 0), parallela al piano alfa (dove alfa: 2x-y-2z+7=0) e complanare con la retta r: 3x+2z+1=4x+4y-1=0
2) Il luogo dei punti Q di alfa tali che l'area del triangolo con vertici C( 1, 0, 0), A(-1,1,2) e Q sia $ 3*(2)^(1/2)$
ora per il primo mi manca proprio il metodo di ragionamento, più che altro non riesco a trovare prima una soluzione grafica ...
Ciao a tutti mi sono appena iscritto ...volevo chiedere c'è qualcuno così gentile che riesce a dimostrarmi questa semplice proprietà della matrice trasposta ?
Se A ∈ Mat (m,n) e B ∈ Mat (n,p) allora ===> (AB)^T = B^T A^T
Grazie.
Scusate il disturbo, sono nuovo del forum. Comunque vi voglio porre un problema che non riesco a risolvere perchè non so come procedere. Il quesito è:
scrivere l'equazione della sfera tangente gli assi coordinati e avente raggio r=radice di 2 e passante per P(2,2,1).... grazie per le eventuali risposte.
Supponiamo di avere una varietà differenziabile [tex]M[/tex] di dimensione [tex]n[/tex], e sia [tex]p \in M[/tex]. Prendiamo un sistema [tex](U, x^1 \ldots x^n)[/tex] di coordinate locali in [tex]p[/tex]. Come sappiamo abbiamo allora un corrispondente sistema di vettori tangenti:
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p \ldots \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p[/tex].<br />
<br />
Ora prendiamo un altro sistema di coordinate locali in [tex]p[/tex], diciamo [tex](V, y^1 \ldots y^n)[/tex], e supponiamo che la prima coordinata, [tex]y^1[/tex], sia uguale alla prima coordinata del vecchio sistema [tex]x^1[/tex]. <strong>Domanda</strong>: Cosa possiamo dire dei corrispondenti vettori tangenti? E' vero che <br />
<br />
[tex]$\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p=\left.\frac{\partial}{\partial y^1}\right\rvert_p[/tex]?
Leggo sul testo di Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie ...
Salve qualcuno mi saprebbe trasformare queste eq. cartesiane in parametriche... E spiegarmi come ha fatto?
x1+x2+x3=5
2x1-x2+3x3=2
ciao.
ho una superficie $A=x^2-y^2-x+y$
devo trovare i punti di minimo e massimo sul $D=[|x+y|<=1 , |x-y|<=1]$
prima di tutto ho trovato che $P(1/2 ; 1/2)$ è punto di sella globale e appartiene all'insieme $D$.
beh, teoricamente esso è dunque l'unico punto notevole in $D$, perchè per il resto la superficie tende a $\pm \infty$.
è giusto?
Ciao a tutti...
Ho un problema con un esercizio riguardante la circonferenza..
Non riesco a capire il ragionamento da seguire...
Allora.. se ho una retta, ad esempio 3x + 2y-10=0 e so che nel suo punto X(2,2) è tangente a delle circonferenze.
Devo determinare la o le equazioni delle circonferenze che intercettano con l'asse delle ordinate una corda di lunghezza 6.
Non riesco proprio a capire come determinare l'eq. della circ.
Uff... mi aiutate????????
Salve, avrei due dubbi. Il primo riguarda gli spazi vettoriali. Per dimostrare che un dato insieme è uno spazio vettoriale, bisogna dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto, oppure ciò vale solo per i SOTTOSPAZI?
Salve, mi sono imbattuto in un esercizio in cui non riesco a scomporre un polinomio; solitamente arrivo ad una forma del tipo $ (lambda + 1 )(lambda - 1) $ e quindi posso affermare $ lambda != -1, +1 $.
in questo esercizio mi trovo la matrice associata al sistema: $ ( ( lambda , 1 , lambda-1 ),( 1 , lambda , -2lambda ),( 0 , lambda , -1 ) ) $;
calcolo il determinante che mi risulta: $2lambda^3 - lambda +1$
scompongo il polinomio con ruffini ed ottengo: $(lambda +1)(2lambda^2-2lambda+1)$ (che risulta corretto, perchè moltiplicandoli ottengo il polinomio di partenza)
il problema è che ...
So' che dicendo base allora sono dei vettori linearmente indipendenti e che sono un sistema di generatori. Non capisco però come si possa costruire un sistema di generatori senza che sia una base. Mi potete fare un esempio ? Grazie.
Salve,
Mi sto esrcitando per un esame di algebra e geometria che dovrò fare a breve.L'esercizio mi dice:
Dato l'endomorfismo:
$ f(e1)=te1+e2 f(e2)=2e1+(t+1)e2 f(e3)=-e1-e2+e3$
Studiare la diagonalizzabilità al variare di t e nel caso di t=-2 determinare autovalori e autospazi.
Per il primo punto ho proceduto cosi:
Scrivo la matrice del polinomio caratteristico,mi faccio il determinante,esce una equazione di secondo grado e pongo il delta =0 in modo che mi trovo i valori di t per la quale esistono due soluzione ...
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame ORALE di matematica 1 e siccome allo scritto ho lasciato questo esercizio, all'orale il professore probabilmente me lo farà fare quindi avrei bisogno di sapere come si svolge.
L'esercizio è il seguente:
Sia R una retta passante per i punti $A=(1,1,2)$ e $B=(0,1,1)$.
Determinare il piano $\alpha$ che contiene R ed parallelo alla retta S di equazione cartesiana: $\{(x - y -2 = 0),(2x - z -1 =0):}$
Siccome sto preparando l'orale e sono impegnato ...
ciao.
ho una matrice $A= ( ( -1 , 16 ),( 1/16 , -1 ) ) $
dovrei trovare la matrice P e la matrice B tale che $A=PBP^(-1)$
io ho trovato $P= ( ( 0 , 16 ),( 0 , 1 ) )$ e $B=( ( 0 , 0 ),( 0 , -2 ) )$
però non è giusto e non riesco a trovare l'errore.
l'ho rifatto varie volte e non mi viene. potete dirmi quanto dovrebbe venire?
Ciao ragazzi, ho un dubbio atroce.
Quando voglio determinare la dimensione di un sottospazio vettoriale, e considero la matrice dei coefficienti delle equazioni del sottospazio, la dimensione mi è data dal rango della matrice oppure dall'indice delle infinite soluzioni (per es. infinito alla due soluzioni -> dim = 2) ?
Ho notato che se ad esempio ho rango 2 nella matrice, la base è formata da due vettori (quelli che hanno contribuito al rango), e quindi si vede subito che la dimensione ...
ho un problema:
fissato un riferimento metrico, si determini il valore del parametro reale $h$ per il quale la retta congiungente i punti $M(0,h,1)$ e $N(4,5,1)$ è perpendicolare al piano $2x-y=5$
io ho trovato la retta passante per i due punti in questa maniera:
$ { ( x=x'+(x'-x'')),(y=y'+(y'-y'') ),( z=z'+(z'-z'') ) :} $
con $M(x',y',z') N(x'',y'',z'')$
poi non riesco a continuare ... ditemi anche se ho sbagliato il metodo per trovare la retta passante tra i due punti please???
grazie anticipatemente
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