Matrice complementare

[Seneca1]

Matrice complementare $n x n$:

$A_(i j) = ((a_(11), ... , a_(1 (j-1)), 0 , a_(1 (j+1)) , ... , a_(1 n)),( . , " " , " ", . , " " , " " , . ),(0, ... , 0, 1 , 0 , ... , 0),( . , " " , " ", . , " " , " " , . ),(a_(n 1), ... , a_(n (j-1)), 0 , a_(n (j+1)) , ... , a_(n n)))$

$(0, ... , 0, 1 , 0 , ... , 0)$ è la i-esima riga, mentre $((0), (.), (1), (.), (0))$ è la j-esima colonna.

Come mai si introduce questa matrice? A cosa serve?

E poi come si fa a concludere che: $bar (A) A = A bar(A) = ("det"(A)) E_n$ ?

Dove $bar(A)$ è la trasposta della matrice dei cofattori.

[dissonance]

Il determinante di quella matrice è proprio l'$ij$-esimo cofattore, come vedi subito applicando la formula di Laplace, ovvero con il senno di poi, visto che la formula di Laplace è proprio quello che stai cercando di dimostrare!

[Seneca1]

Non riesco a capire come mai sugli appunti c'è scritto:

$bar A = ( bar a_(i j ) )$ , $bar a_(i j ) = "det"(A_(j i) )$

$"det"(A_(i j) )_(1 <= i <= n , 1 <= j <= n )$ matrice dei cofattori.

Poi scrive la formula che ho riportato nel post precedente.

Se $A$ è invertibile, cioè $"det" (A) != 0$ (e questo ce l'ho dimostrato),

allora $A^(-1) = 1/("det"(A)) * bar A$.

Forse mi sono rimbecillito, ma è la prima volta che parla di matrice dei cofattori. Non la doveva definire prima?

[Seneca1]

La difficoltà sta nel fatto che il professore non segue nessun testo, donde l'enorme lavoro esegetico. A me sembrano frammenti buttati lì a caso. Subito dopo un lemma sulle matrici a blocchi, comincia il "paragrafo" con "Matrice complementare" (e riportava la matrice di cui prima). Non capisco dove vuole andare a parare.

[dissonance]

Infatti riflettevo sul determinante della matrice complementare. E' facile vedere che esso è proprio l'$ij$-esimo cofattore, dove per "cofattore" intendo "il determinante della sottomatrice ottenuta sopprimendo $i$-esima riga e $j$-esima colonna"; è una applicazione della formula di Leibniz. Allora evidentemente il professore ha tagliato corto e ha assunto direttamente, per definizione, che l'$ij$-esimo cofattore sia il determinante della matrice complementare. Vedi un po' se quadra.

[Seneca1]

Dissonance, ti ringrazio, ma qui l'unica cosa che quadra è il cerchio.

Come lemma (quello che precede questa sezione poco chiara) ho il seguente:

Lemma: Sia $A$ una matrice $n x n$ a blocchi:

$A = ((A_1 , C),(0 , A_2))$ , $A_1 , A_2$ matrici quadrate

allora $"det"(A) = "det"(A_1) * "det"(A_2)$.


C'entra qualcosa?

[dissonance]

Non mi pare che c'entri nulla.