Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, nella soluzione dei temi d'esame, ricorre spesso questa frase:
Per calcolare il determinante o risolvere un sistema associato a una matrice e' utile, per i calcoli, fa comparire gli zeri considerando un tal elemento.
Mi potreste spiegare come si fa e perche'? (credo che se capisco il metodo, poi il perche' e' conveniente sara' ovvio).
Es.
$ ( ( t+1 , -1, 5),( 2, 1, 1),( 1, -2, t+8) ) $
Dice, il testo, che usa la seconda riga per far comparire degli zeri nella prima e nella terza riga.
Se ...
Ciao ragazzi, di solito le diagonalizzazioni mi riescono ma oggi ne ho trovata una che mi sta facendo impazzire. Vi sarei grato se mi faceste vedere passo passo come discuterla al variare dei parametri ed anche come avere il polinomio significativo.
Questa è la matrice: $ ( ( 1 , 3 , 5 ),( 0 , 0 , 2 ),( b , -2 , a ) ) $
Grazie anticipatamente
Ciao a tutti. Vi posto alcuni dubbi che ho trovato risolvendo degli esercizi:
1° Dubbio
Sapendo che esiste un omeomorfismo tra $B_1(0)$ ed $R^n$ come faccio a dimostrare che $B_r(x)$ è omeomorfo ad $R^n$?
2° Dubbio
Se ho $r>0$ e $s>0$, $x in R^n$ ed anche $y in R^n$. Come dimostro che $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$(quadrati di $R^n$) sono varietà topologiche omeomorfe? E che lo sono anche ...
Il seguente problema:
Determinare la forma canonica di Jordan e una base a stringhe per il seguente operatore:
$f(x,y,z)=(y,3x+z,-3y)$
Lo stavo svolgendo:
$M_epsilon^epsilon (f) = | ( 0 , 1 , 0 ),( 3, 0 , -1 ),( 0 , -3 , 0 ) | $
Poi
$M_epsilon^epsilon (f) - It = | ( -t , 1 , 0 ),( 3, -t , -1 ),( 0 , -3 , -t ) |<br />
<br />
$P_t (f) = -t^3$<br />
<br />
La matrice in forma canonica dovrebbe essere:<br />
<br />
$| ( 0 , 1 , 0 ),( 0, 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) |$<br />
<br />
Poi per calcolare la base a stringhe io pensavo di usare la formula<br />
<br />
$ M_lambda = M_epsilon^epsilon (f) - lambda I$<br />
<br />
Poi risolvevo le varie equazioni:<br />
<br />
$M |(x),(y),(z)| = 0$
e trovavo le colonne di P (ovvero la matrice formata da una base a stringhe per f)
Però avendo un solo autovalore ...
Ciao a tutti qualcuno mi può aiutare a risolvere questi esercizi perchè mi servono come materiale per studiare visto che nel libro non ci sono esercizi grazie in anticipo:
1)Dopo aver studiato il fascio generato dalle r:y=5x-7 ed s:x-5y=11trovare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r ed s.
2)Fissato nel piano un sistema di riferimento ortonormale R(O;x,y) sia R' il sistema che si ottiene ruotando in senso antiorario il versore del semiasse negativo delle ascisse in modo ...
Buongiorno domani ho l'esame di geometria e algebra lineare e mi sono inceppato in questo esercizio,o meglio,i risultati sono corretti ma nella soluzione che mi viene fornita si presentano al contrario rispetto ai miei:
Data la seguente matrice: $A=((1,1,0,0),(1,1,0,0),(1,1,2,0),(1,1,0,2))$ :
-Si calcolino gli aautovalori e le rispettive molteplicità algebriche:
ho scritto il pol caratteristico come: $P_(\lambda)(A)=((1-\lambda,1,0,0),(1,1-\lambda,0,0),(1,1,2-\lambda,0),(1,1,0,2-\lambda))$ e ho trovato gli autovalori $\lambda_(1)=0$ con $\mu=1$ e $\lambda_(2)=2$ con ...
Sia dato [tex]W[/tex], spazio vettoriale a dimensione finita sul corpo [tex]K[/tex].
Se [tex]V[/tex], sottospazio di [tex]V[/tex], è A-invariante ([tex]A[/tex] matrice sul corpo [tex]K[/tex] di dimensioni opportune),
cioè se [tex]x \in V \Rightarrow Ax \in V[/tex],
il complemento ortogonale di [tex]V[/tex] in [tex]W[/tex], ovvero l'insieme dei vettori di [tex]W[/tex] ortogonali a tutti i vettori di [tex]V[/tex],
è anch'esso A-invariante?
Sia [tex]V = M_{2,2}(\mathbb{R})[/tex] e [tex]U, W \subseteq V[/tex] tali che:
[tex]U = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right)[/tex]
[tex]W = \left\{ A = (a_{ij}) \in V \mbox{ tale che } a_{11} + a_{22} = a_{12} + a_{21}\right\}[/tex]
Trovare una base di [tex]U \cap W[/tex].
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Mi sono trovato una base di W, cioè:
[tex]W = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ ...
Ciao. Stavo facendo esercizi e mi sono bloccato su questo esercizio che sembra banale ma non riesco a dimostrare:
${Q_r(x) \\ {x} | x in R^n,r>0}$ è una base per la topologia Euclidea di $R^n$.
Qualcuno di voi potrebbe darmi una dritta?
Ciao. Vi posto alcuni problemi che ho trovato risolvendo degli esercizi:
Devo vedere se un'applicazione propria tra varietà topologiche è chiusa. Ho provato a svolgerlo ma non so se in modo corretto. Ve lo posto
Sia $C$ un chiuso in $X$, spazio topologico, devo dimostrare che $f(C)$ è chiuso in $Y$, anch'esso spazio topologico. Allora ho preso ${y_n}$ una successione convergente in $f(C)$ ad $y$. ...
Buongiorno ragazzi,ho un esame da dare e la prof inserisce sempre un esercizio del tipo:
Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare le soluzioni.
2x+y-z=1
3x-y+az=4
Vi prego di aiutarmi,perchè per motivi personali non ho potuto seguire tutto il corso...se almeno riuscite a darmi qualche consiglio su dove iniziare a mettere le mani ve ne sarò eternamente grato!!
Non riesco mai a risolvere problemi del tipo riportato qui sotto. Se qualcuno fosse in grado di spiegarmi in che punto sbaglio gliene sarei veramente molto grato.
Nello spazio euclideo standard $E^3$ devo determinare la proiezione ortogonale del vettore $v=(1,-1,3)$ sul piano di equazione cartesiana $2*x-y+4*z=0$.
Dal piano ricavo il vettore $n$ ortogonale ad esso che avrà le componenti $n=(2,-1,4)$.
Normalizzo tale vettore dividendolo per la ...
l'esercizio chiede di trovare una base ortonormale dell spazio vettoriale euclideo E (di dim 3) che contenga il vettore
v=($1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)$)
io ho calcolato la norma del vettore che mi risulta $sqrt(3)/3$
è giusto che la base cercata sia data da ($(1/sqrt(3))/(sqrt(3)/3), (1/sqrt(3))/(sqrt(3)/3), (1/sqrt(3))/(sqrt(3)/3) $)=(1,1,1)
Ciao, potreste darmi qualche dritta su come svolgere questo esercizio nel caso il metodo da me proposto fosse sbagliato:
Dovrei dimostrare che un applicazione lineare iniettiva tra spazi vettoriali è chiusa. Se invece è suriettiva è aperta.
Data una applicazione lineare del tipo $f:RR^n -> RR^m$ so che è iniettiva se e solo se la $dimkerf = 0$ mentre è suriettiva se se solo se $dimImf=m$ perchè in questo caso $Imf$ e $RR^m$ coincidono.
Inoltre ...
Salve ragazzi, questo è il primo post in cui scrivo, sono iscritta da poco ed è anche la prima volta che mi iscrivo su un forum, quindi, vi prego, non siate crudeli con me.
Sono una studentessa universitaria che si sta preparando per l'esame di geometria ed algebra lineare. Ho un dubbio.
In un esercizio mi viene chiesto di determinare la dimensione di un sottospazio generato da tre vettori (-1,2,3) (0,-1,0) (1,0,1). Potreste darmi una mano? Cosa devo fare? Potreste linkarmi argomenti al ...
Ho la matrice $A=((3,1,4),(2,-2/3,5/3),(-6,2,-8))$.
Sfruttando il metodo di eliminazione gaussiana ottengo una decomposizione $A=LU$ con $L=((3,0,0),(2,-1,0),(-6,0,1))$ e $U=((1,-1/3,4/3),(0,0,1),(0,0,0))$.
Ora eliminando la terza riga di U e la terza colonna di L si ottengono due matrici $U'$ e $L'$ tali che $A=L'U'$ è una decomposizione a rango pieno.
Ma in generale qual'è la tecnica per "eliminare" righe e colonne fino ad arrivare ad una decomposizione a rango pieno?
Si tratta di due vettori:
Dati $ v= (1,7,4); w= (9,4,7) <br />
Calcola $ v * w, v ^^ v $
Ciao a tutti...
Studiando le partizioni dell'unità sul Sernesi, mi trovo di fronte l'implicita affermazione che se [tex]K \subseteq \mathbb R^n[/tex] è un compatto, allora la funzione [tex]\mathbb R^n \ni \mathbf{x} \to \text{d}(\mathbf{x},K):= \min\{\text{d}(\mathbf{x},\mathbf{y}), \: \mathbf{y} \in K\}[/tex] è una funzione differenziabile di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]. Passi la continuità, ma non riesco a dimostrare nemmeno che è di classe [tex]\mathcal{C}^{(1)}[/tex]... ...
Determinare le equazioni della retta passante per il punto $P=(1,-1,2)$ perpendicolare e incidente alla retta $r: x-z=2x+y-2z=0$
Ho trovato i parametri direttori di r: $(1,0,1)$
E quindi posso dedurre che la retta che cerchiamo sia di questo tipo:
$ x=1+nt, y=-1+mt, z=2-nt$
Ma ora come faccio a trovare i valori di n e m?ho utilizzato tutte le informazioni, no?
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