Trasformazione lineare

[chiara.15011]

Salve menti matematiche. Vi chiedo aiuto per un esercizietto che vi sembrerà semplice, ma per me non lo è (forse perchè non ho chiari i concetti chiari al 100%).
Sia $F: M_3(RR)->M_3(RR)$ la traformazione lineare tale che $F(A)=A-A^T$ (A^T è la trasposta di A, non sapevo come scriverla). Determinare il nucleo e l'immagine di F e le loro dimensioni.
Ora vi spiego come ho provato a risolverlo.
$A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$
$F(A)=((0,b-d,c-g),(d-b,0,f-h),(g-c,h-f,0)) => F(A)=(b-d)((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))+(c-g)((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))+(f-h)((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$
Im(F):=<$((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0)),((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0)),((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$>
dim(Im(F))=3
Poi però quando arrivo al nucleo mi blocco. Il nucleo è formato dalle soluzioni del sistema $M(F)*A=0$ . Il problema è che la matrice associata all'applicazione è 9*3, che poi ridotta mi viene la matrice identità.. ehm mi sa che ho sbagliato tutto

[Edit] Ho capito dove ho sbagliato. che scema! La matrice associata all'applicazione è 9*9 e le soluzioni del sistema omogeneo sono f=h, c=g, b=d. Quindi la dimensione del nucleo è 6... e i conti tornano perchè $dim(M_3(F))=dim(im(F))+dim(N(F))$

[Alxxx28]

"chiara.1501":
[Edit] Ho capito dove ho sbagliato. che scema! La matrice associata all'applicazione è 9*9 e le soluzioni del sistema omogeneo sono f=h, c=g, b=d. Quindi la dimensione del nucleo è 6... e i conti tornano perchè $dim(M_3(F))=dim(im(F))+dim(N(F))$

Evidentemente c' è qualcosa che non va.
Osserva l' uguaglianza che hai scritto: $dim(M_3(F))=dim(im(F))+dim(N(F))$
Ti sembra possibile che sia 6 la dimensione del nucleo?
Riguardo alla matrice associata ad $F$ invece, come hai proceduto per ricavarla? Sei sicura che sia 9 x 9?

[miuemia]

$F(A)=0$ se e solo se $A=A^{t}$ quindi simmetrica....qual è la dimensione del sottospazio generato dalle matrici simmetriche???

[chiara.15011]

Allora mi sono praticamente ricavata la matrice associata all'applicazione nella base canonica di $M_3(RR)$ sapendo che:
$F(E_11)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$F(E_12)=((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$
$F(E_13)=((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))$
$F(E_21)=((0,-1,0),(1,0,0),(0,0,0))$
$F(E_22)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$F(E_23)=((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$
$F(E_31)=((0,0,-1),(0,0,0),(1,0,0))$
$F(E_32)=((0,0,0),(0,0,-1),(0,1,0))$
$F(E_33)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$

e quindi mi viene una matrice 9*9, i vettori colonna linearmente indipendenti sono 3 e quindi li'immagine ha dimensione 3. La matrice ha rango 3, quindi le soluzioni del sistema omogeneo AX=0 dipendono da 6 parametri (9-3). Perchè il nucleo non può avere dimensione 6?

[Alxxx28]

Scusami, mi sono appena accorto di aver letto male la traccia.
Ero convinto che [tex]F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/tex]

Quindi $E_{11}$ sarebbe $ ( ( 1 , 0, 0),( 0, 0, 0),( 0, 0, 0 ) ) $, $E_{12}=( ( 0, 1, 0),( 0, 0, 0),( 0, 0, 0 ) )$
e così via esatto?
Mi sembra corretto il tuo ragionamento

[chiara.15011]

"Alxxx28":Scusami, mi sono appena accorto di aver letto male la traccia.
Ero convinto che [tex]F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/tex]

Quindi $E_{11}$ sarebbe $ ( ( 1 , 0, 0),( 0, 0, 0),( 0, 0, 0 ) ) $, $E_{12}=( ( 0, 1, 0),( 0, 0, 0),( 0, 0, 0 ) )$
e così via esatto?
Mi sembra corretto il tuo ragionamento

sì sì esatto, ho ragionato così!