Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buon pomeriggio a tutti!
In $R^2$ euclideo consideriamo l'endomorfismo definito da $f(1,1)=(1,-1)$, $f(1,2)=(t,0)$ (si noti che f è ben definito essendo $(1,1)(1,2)$ una base di $R^2$). Vediamo per quali $t$ appartenenti a $R$ $f$ è autoaggiunto.
Una base ortonormale è $E=(1,0)(0,1)$=base canonica.
Con calcoli standard risulta
$M_f^(E,E)=((2-t,t-1),(-2,1))$
La matrice è simmetrica se e solo se $t-1=-2$, cioè ...
è possibile che una matrice quadrata di ordine 3 abbia come autovalori 4 interi?
Io ho ragionato in questo modo:
Gli autovalori, si possono ottenere svolgendo la seguente espressione:
$ PAP^-1=D $ Dove D è la matrice diagonale che ha appunto per diagonale i rispettivi autovalori della matrice di partenza. Se la matrice di partenza è 3x3, è ovvio che alla fine troveremo nella matrice diagonale 3 autovalori.
Se non è così, come posso dare una risposta esauriente?
Salve, dati due vettori $w_1$ e $w_2$ tali che
[tex]\vec{w_{1}}=\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}[/tex]
[tex]\vec{w_{2}}=\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}[/tex]
Il mio testo ottiene:
[tex]$\left\langle \vec{w_{1}},\vec{w_{2}}\right\rangle =\left\langle \frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|},\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}\right\rangle =\frac{\left\langle \vec{v_{1}},\vec{v_{2}}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}-\frac{\left\langle \vec{v_{2}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle \left\langle \vec{v_{1}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}$[/tex]
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa ha fatto tra il secondo e il terzo passaggio? Parla di proprietà ...
Ciao, stavo facendo degli esercizi sugli autovettori ecc e mi trovo a risolvere questo semplicissimo sistema lineare omogeneo, la cui matrice incompleta associata è quadrata di ordine 3, con tutti uni.
Il rango di tale matrice è 1, e le soluzioni del sistema omogeneo associato mi vengono $a=-t-s, b=t, c=s$, con $t,s$ che variano in R. Quindi le soluzioni sono date dallo span dei vettori $(-1,1,0)$ e $(-1,0,1)$. Al libro invece viene che lo span dello spazio delle ...
Salve ragazzi,
1)se ho il seguente riferimento $ R=(-1,2),(1,2) $ come posso dimostrare che è un riferimento dello spazio vettoriale $ R^2 $ ?
2)Come posso scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico?
Io ho proceduto, per la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico in questo modo:
A)$ (-1,2)=h1(1,0)+h2(0,1) $
B)$ (1,2)=k1(1,0)+k2(0,1) $
A) ottengo h1=-1; h2=2 (la mia prima colonna della matrice A)
B) ottengo k1=1; k2=2 (la mia ...
Salve, stò cercando di calcolare autovalori e autospazi di una matrice reale. Dopodichè devo dire se la matrice è diagonalizzabile(giustificando la risposta) e in caso affermativo, devo scrivere una base di autovettori.
la matrice è:
$ ( (0,-1,0),(1,0,0),(0,0,3) ) $ io tramite il metodo di sarrus ho calcolato il determinante del polinomio caratteristco $ |A-kI| $ ottenendo una cosa del tipo:
$ (3-k)(-k)(-k)-(3-k)(-1)=(3-k)(k^2)+(3-k)=(3-k)(k^2+1) $ (i conti dovrebbero essere corretti, magari gli date un'occhiata?) Dopodichè, mi ...
Ciao, a tutti
ho bisogno di una conferma o sconferma su una cosa:
Dati $X$ e $Y$ sottospazi vettoriali di $V$, ...
salve ragazzi ho un problema con un esercizio di cui posto la traccia:
Fissato un riferimento cartesiano monometrico, si considerino la retta r passante per i punti $A=(2,-3,)$ e $B=(3,-1,2)$, il piano $\alpha: x-2y+1=0$ e il punto $P=(2,0,-1)$.
Allora io ho calcolato la retta passante per i punti e mi trovo che è:
$r: \{(x=2+t),(y=-3+2t),(z=1+t):}$.
Tra le richieste mi si chiede di determinare la retta t passante per il punto $S=(1,-1,-1)$ ortogonale e incidente la retta r. ...
salve a tutti, ho un dubbio su come procedere per verificare che due vettori siano linearmente indipendenti. ho già cercato in giro per il forum ma non ho scoperto niente di nuovo rispetto a quello che già sapevo e cioè che per verificare la cosa bisogna o mettere in matrice i vettori e calcolare il determinante, o fare un sistema. i miei vettori sono questi :
$ ( 1-h, 1-h, -h ),( 2h,2h,2h+1) $
se faccio la matrice non so calcolarne il determinante, per il sistema sinceramente non so come procedere. potreste ...
salve, ho dei problemi con questo esercizio o meglio sono riuscito a svolgerlo senza però aderire a pieno alla richiesta del problema infatti penso di aver trovato la distanza dal sottospazio U e NON il vettore di U che ha minima distanza da w.
qualcuno mi può aiutare?? grazie a tutti
http://img3.imageshack.us/img3/4835/doentoacquisito.jpg
Salve a tutti è la prima volta che scrivo in questo forum anche se varie volte proprio qui ho trovato la soluzione di alcuni miei problemi. Arriviamo al dunque, ho un esercizio che penso sia banale, ma proprio non riesco a trovare il verso giusto di prenderlo. Lo propongo anche a voi sperando in un aiutino.
In $ RR^4 $ si considerino i due sottospazi vettoriali U =< (2,-1,0,1),(1,-1,1,1) > e W =< (1,0,-1,1),(2,-2,2,1) >.
Si dica se esiste un endomorfismo di $ RR^4 $ che ...
la prof. ha detto"La matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortogonale è necessariamente diagonale."
a me non porta però, considero$ <v,w> =v_1w_1+2v_2w_2+v_2w_3+v_3w_2+v_3w_3 $ per la base canonica (che è ortogonale) la matrice associata è $ S_E=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ ho provato anche a spostarla in un altra base ortogonale $ B=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ ho applicato $S_B=M^TS_EM$ con $M$ matrice di cambiamento di base da $E$ a $B$ non capisco.
un altra cosa ...
Salve ragazzi, ho questo problema di geometria col quale non mi trovo con il risultato Potreste dare un'occhiata? Grazie ^^
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta $r$ contenente i punti $A(0, 1, -1), B(1, 1, 2)$ e la
retta $s$ contenente i punti $C(2, 1, 0) $e$ D(2, 0, 1)$
Determinare l'equazione del piano contenente $r$ e parallelo ad $s$.
RISPOSTA: 3x - y - z = ...
Salve se ho la seguente retta rappresentata da due equazioni cartesiane, come la passo in forma parametrica:
$ ( ( x+y-z+2=0 ),( 2x-y+z=0 ) ) $
Io ho proceduto ponendo x=t ottenendo una cosa del tipo:
$ ( ( y=-t+z-2 ),( z=-2t-t+z-2 ) ) $ Da qui non sò più come continuare per trasformare la retta r in forma parametrica.
Ho iniziato la procedura di Grand-smith per ricavare una base ortogonale associata ad una matrice con prodotto scalare canonico:
- trovo un vettore t.c. il suo autoprodotto sia diverso da zero.
- trovo il suo ortogonale : viene di dimensione 2, pertanto ho due vettori. Tali vettori sono isotropi.
Come faccio ad andare avanti ?
P.S. tutto avviene in R3 .
In attesa di notizie, vi saluto, ringraziando anticipatamente .
A.r.
ciao, avendo l'equazione del nucleo e dell'immagine posso fare
$Ker+Img$ e ker interesezione immagine? posso dire se il Ker e l'immagine sono somma diretta?
In questo esercizio ho un dubbio:
Sia [tex]f:R^3->R^3[/tex] un endomorfismo defnito mediante le immagini dei vettori della base
[tex][v1 = (1; 2; 3); v2 = (0; 1; 2); v3 = (1; 0; 1)][/tex] dalle assegnazioni:
[tex]\left\{\begin{matrix}
f(v_1)=(2,4,6)_E\\f(v_2)=(1,2,5)_E
\\f(v_3)=(2,2,4)_E
\end{matrix}\right.[/tex]
Determinare Kerf, Imf e una loro base.
Io devo fare qualche cambiamento? Oppure semplicemente visto che le immagini sono in base E posso semplicemente considerare la ...
salve, vorrei sapere se il piano di equazione cartesiana 5x+y+z-1=0 è corretto esprimerlo in forma parametrica nel seguente modo:
y=t
z=t
x=1/5-2/5t
grazie
L'esercizio chiede di trovare una matrice invertibile P tale che $P^(-1)AP$ sia una matrice diagonale.
con A=$((1,1,1),(-1,0,1),(2,1,0))$ io ho trovato gli autovalori, che sono 0,-1,2 tutti di molteplicità 1
quindi la matrice diagonale è $((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$
il mio problema è: come faccio a trovare la benedetta matrice P? giuro che non so da dove iniziare per calcolarla :(
grazie in anticipo per le risposte :wink:
Ciao a tutti ho 2 esercizi che non riesco a fare e sono i seguenti:
Studia (cioè vedi se ammettono soluzioni,e in caso trovarle) i sistemi
1)
4x+y+z+2v+3w=0
14x+2y+2z+7v+11w=0
15x+3y+3z+6v+10w=0
2)
5x+4y+7z=3
x+2y+3z=1
x-y-z=0
3x+3y+5z=2
Ho provato di tutto ma non sò come ridurli a scala (se non è troppo mi piacerebbe anche vedere i passaggi^^).
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