Somma e intersezioni di sottospazi?

[lorè91]

ciao, avendo l'equazione del nucleo e dell'immagine posso fare
$Ker+Img$ e ker interesezione immagine? posso dire se il Ker e l'immagine sono somma diretta?

[_prime_number]

Attenzione che il nucleo è sottospazio dell'insieme di partenza, mentre l'immagine di quello di arrivo... O parli di endomorfismi?

Paola

[lorè91]

ciao , io ho una funzione e ho trovato le equazioni del nucleo e dell'immagine
si può fare $ Ker f nn Img $ oppure $ ker$ somma diretta $Img$ , il prof ha detto no ma non ho capito perchè grazie mille

[_prime_number]

Ok, qua non ci capiamo.
Se hai un omomorfismo $f:V\to W$, per definizione hai che $Ker f\subset V, Im f\subset W$, cioè sono sottoinsiemi di ambienti diversi... quindi intersezione e somma diretta, in generale, non hanno senso.

Paola

[lorè91]

ciao, grazie di avermi risposto . infatti è la stssa cosa che diceva il prof ..invece la somme semplice $ Kerf + Imgf $ si può fare?

[_prime_number]

Ancora una volta no... Infatti la somma tra spazi vettoriali è definita come [tex]V+W=\{v+w:v\in V,w\in W\}[/tex]. Se [tex]v,w[/tex] appartengono a spazi vettoriali diversi la loro somma non ha senso. Immagina ad esempio che [tex]V=\mathbb{R}, W= M_n (\mathbb{R})[/tex] (matrici di ordine n a coefficienti reali).

Paola

[lorè91]

ok grazie mille ora ho capito

[gaten]

Paola, come possiamo dimostrare che il Kerf è sottospazio? Dovremmo dimostrare che è stabile rispetto a somma e prodotto e contiene il vettore nullo, ma come lo dimostriamo?

[mistake89]

Prendi due vettori $u,v in Kerf$ e calcola $f(u+v)=f(u)+f(v)=0+0=0$. Dove si è sfruttata la linearità della $f$.

La moltiplicazione per lo scalare prova a farla tu!