Endomorfismo dati nucleo e immagine
Salve a tutti è la prima volta che scrivo in questo forum anche se varie volte proprio qui ho trovato la soluzione di alcuni miei problemi. Arriviamo al dunque, ho un esercizio che penso sia banale, ma proprio non riesco a trovare il verso giusto di prenderlo. Lo propongo anche a voi sperando in un aiutino.
In $ RR^4 $ si considerino i due sottospazi vettoriali U =< (2,-1,0,1),(1,-1,1,1) > e W =< (1,0,-1,1),(2,-2,2,1) >.
Si dica se esiste un endomorfismo di $ RR^4 $ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso contrario, se ne determinino due distinti, precisando, per ciascuno di essi, i corrispondenti dei vettori della base canonica di $ RR^4 $.
In $ RR^4 $ si considerino i due sottospazi vettoriali U =< (2,-1,0,1),(1,-1,1,1) > e W =< (1,0,-1,1),(2,-2,2,1) >.
Si dica se esiste un endomorfismo di $ RR^4 $ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso contrario, se ne determinino due distinti, precisando, per ciascuno di essi, i corrispondenti dei vettori della base canonica di $ RR^4 $.
Risposte
Qual è la tua idea a riguardo? Che problemi hai? 
Così possiamo aiutarti meglio e magari essere più utili
Così possiamo aiutarti meglio e magari essere più utili
Io ho pensato che visto che la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo sono pari alla dimensione di $ RR ^4 $ allora l'endomorfismo esiste.
Andando ad intuizione l'endomorfismo non è unico però non saprei come calcolarli.
Andando ad intuizione l'endomorfismo non è unico però non saprei come calcolarli.
sì, hai detto bene esiste!
Ora per l'altro punto c'è un teorema che ci dice che un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che essa assume sui vettori di base. Di una qualunque base.
Perciò considerata la base canonica abbiamo che $f(e_1)=w_1$, $f(e_2)=w_2$, $f(v_1)=f(v_2)=0$. Ma potrebbe essere $f(e_1)=w_2$, $f(e_2)=w_1$, $f(v_1)=f(v_2)=0$. E questo è solo un esempio.
Quindi basta prendere una base (che nel nostro caso contenga i due vettori di U), per determinare una nuova applicazione lineare.
Non so se son stato chiaro
Ora per l'altro punto c'è un teorema che ci dice che un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che essa assume sui vettori di base. Di una qualunque base.
Perciò considerata la base canonica abbiamo che $f(e_1)=w_1$, $f(e_2)=w_2$, $f(v_1)=f(v_2)=0$. Ma potrebbe essere $f(e_1)=w_2$, $f(e_2)=w_1$, $f(v_1)=f(v_2)=0$. E questo è solo un esempio.
Quindi basta prendere una base (che nel nostro caso contenga i due vettori di U), per determinare una nuova applicazione lineare.
Non so se son stato chiaro
Ti scrivo un esempio così mi dai la conferma che ho capito:
Allora per quanto scritto nel testo dell'esercizio so che
$ f(2,-1,0,1)=(0,0,0,0) $
$ f(1,-1,1,1)=(0,0,0,0) $
ora devo completare la base per cui aggiungo altri 2 vettori a mia scelta, prendiamo per esempio $ e_1 $ e $ e_2 $
per cui avrò
$ f(e_1)=a(1,0,-1,1)+b(2,-2,2,1) $
e
$ f(e_2)=c(1,0,-1,1)+d(2,-2,2,1) $
Allora per quanto scritto nel testo dell'esercizio so che
$ f(2,-1,0,1)=(0,0,0,0) $
$ f(1,-1,1,1)=(0,0,0,0) $
ora devo completare la base per cui aggiungo altri 2 vettori a mia scelta, prendiamo per esempio $ e_1 $ e $ e_2 $
per cui avrò
$ f(e_1)=a(1,0,-1,1)+b(2,-2,2,1) $
e
$ f(e_2)=c(1,0,-1,1)+d(2,-2,2,1) $
L'unica gabola a questo discorso è che forse i due sottospazi vettoriali non sono in somma diretta. Se c'è un'intersezione esisteranno infiniti endomorfismi (perché?)
"casta":
per cui avrò
$ f(e_1)=a(1,0,-1,1)+b(2,-2,2,1) $
e
$ f(e_2)=c(1,0,-1,1)+d(2,-2,2,1) $
ma dopo aver detto ciò come faccio a determinare se l'endomorfismo è unico o se ne esiste più di uno?
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