Da equazione cartesiana a parametrica

[gaten]

Salve se ho la seguente retta rappresentata da due equazioni cartesiane, come la passo in forma parametrica:
$ ( ( x+y-z+2=0 ),( 2x-y+z=0 ) ) $

Io ho proceduto ponendo x=t ottenendo una cosa del tipo:
$ ( ( y=-t+z-2 ),( z=-2t-t+z-2 ) ) $ Da qui non sò più come continuare per trasformare la retta r in forma parametrica.

[Zero87]

Premetto che sto scavando molto in profondità (algebra lineare l'ho fatta 5 anni fa...!) quindi non fidarti di quello che dico al 100% perché non si sa mai.

Comunque tu hai l'equazione cartesiana di una retta. Se non erro, nello spazio, l'equazione di una retta si ottiene come intersezione dell'equazione di 2 piani.

${(x+y-z+2=0),(2x-y+z=0) :}$

A questo punto si potrebbe porre direttamente $x=t$ o $y=t$ o $z=t$ ed isolare le altre 2 variabili mettendole in funzione di $t$.

Ovviamente ri-ripeto che io ricordo che dalle coordinate alla parametrica facevo così...

[gaten]

se volessi continuare quella iniziata da me?

[Zero87]

Se volessi continuare quello che hai fatto tu, hai $x=t$ e ricavi la $y$ e la $z$ come se fosse un sistema in 2 equazioni a 2 incognite.

Il nocciolo della questione è che la retta è intersezione tra 2 piani quindi, a parte le parentesi tonde, quello è un sistema in 2 equazioni a 2 incognite. In realtà le incognite sono 3, però ponendone una uguale a $t$ quella mi diventa un parametro.

[gaten]

Zero87, potresti completare la mia, perchè ho difficoltà a completare.

[Zero87]

"gaten":Zero87, potresti completare la mia, perchè ho difficoltà a completare.

Se ti do l'esercizio fatto, non credo che ti sia utile perché magari risolvi un tuo problema (l'esercizio) ma non ne capisci il perché. Però proverò a fartici arrivare.

Comunque, come ho detto all'inizio, sto scavando nei miei ricordi quindi non è detto che quello che dico sia giusto al 100%. [size=75]Cioè, io credo che sia così ed il fatto che non ha risposto nessuno oltre me può farmi pensare questo![/size]

Rispetto al mio intervento precedente, ti consiglio di non porre $x=t$ perché facendo i conti "a me" viene un sistema senza soluzione.

In generale, però, basta porre una variabile come parametro e risolvere il sistema secondo le altre due oppure (il che è la stessa cosa) risolvere il sistema isolando 2 variabili e porre la terza uguale a $t$. Il punto è che si tratta di un sistema lineare di due equazioni in tre incognite ed alla fine una delle incognite diventa un parametro e la soluzione è l'equazione parametrica della retta.

Ricapitolando, se vuoi continuare nella tua strada, puoi porre una variabile (la $x$ è meglio di no, si vede anche dal tuo primo intervento che viene qualcosa di strano) uguale a $t$ poi risolvere il sistema nelle altre 2.