Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao! Vi propongo questo esercizio che non riesco a capire...
Si consideri l'endomorfismo di M2(R) che alla matrice A= $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ associa
f(A)= $ ( ( a+c , b+d ),( a+c , b+d ) ) $
Si scriva la matrice di f relativa alla base canonica di M2(R).
Salve ragazzi io ho i punti:
$ A(1,0) e B(-1,2) $ devo calcolare l'asse del segmento AB
AB(-2,2) mentre il punto Medio M(0,1)
Io ho reperito da internet una formula che calcola l'asse del segmento dati i 2 estremi. Cioè:
$ (x-x_a)^2+(y-y_a)^2=(x-x_b)^2+(y-y_b)^2 $
Sostituendo i valori di A e B ho:
$ x^2+1-2x+y^2=x^2+1+2x+y^2+4-4x $
facendo gli opportuni calcoli mi esce fuori:
$ 4=0 $ ?????????????
Cioè non riesco a capire questa formula cosa mi dice???
Grazie anticipatamente
Salve, ringrazio in anticipo chi avrà la pazienza di visionare lo svolgimento di questo esercizio.
È assegnata l'applicazione lineare da $R^4->R^3$ tale che $f(x,y,z,t)=(2x-y+t,2x-y-2z+t,2x-2y-z-t)$
Ricavo la matrice associata all'applicazione rispetto alle base canoniche A= $((2,-1,0,1),(2,-1,-2,1),(2,-2,-1,-1))$
La riduco fino ad ottenere $((2,-1,0,1),(0,-1,-1,-2),(0,0,-2,0))$
Questa ha rango 3, quindi dim Imf=3 e quindi dim Kerf=1. EDIT: Inoltre una base per Imf è data dai vettori $(2,2,2) (-1,-1,-2) (0,-2,-1)$ che sono le colonne della A indicate dagli ...
Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio sul seguente problema:
"Scrivere le equazioni delle parabole che hanno per direttrice la retta [tex]x+y+2=0[/tex] e sono tangenti all'asse [tex]x=0[/tex] nel punto [tex](0;-1)[/tex]".
La mia idea era quella di scrivere innanzitutto l'equazione di un fascio di coniche bitangenti, ma non riesco a sfruttare l'equazione della direttrice: mi viene da pensare solo al fatto che questa è ortogonale all'asse di simmetria della parabola. Tra l'altro facendo uno ...
Definizione di C: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Definizione di R^2: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Ho letto che c'è una corrispondenza biunivoca tra C e R^2. ma mi chiedevo se si potesse dire di più. Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Sia B una famiglia di parti di $R^2$ costituita dal punto (0,0) e dalle rette passanti per tali punti. B è una base per una topologia A di $R^2$. Denotiamo con S tale spazio topologico.
1) S è connesso?
2) S è compatto?
3) S è metrizzabile?
4) Provare che ogni funzione di S in S è continua in (0,0)
5) Quali sono le successioni di S convergenti in (0,0)? Quali sono le successioni di S convergenti?
Svolgimento:
1) uno spazio topologico S si dice connesso se S è ...
salve, ho completato un esercizio su un endomorfismo, ma non riesco a fare l'ultima parte.
Ecco l'esercizio: $fh : (x,y,z) ∈ R3 −→ (x+z,x+hy,25x+z) ∈ R3, h ∈ R$
io so che l'endomorfismo è diagonalizzabile per h diverso da -4 e 6, ora devo risolvere la seguente parte:
c) Determinare i valori del parametro h tali che (1, −1, 5) sia un autovettore di fh. RISPOSTA: h = 7.
so che bisogna trovare un vettore proporzionale, ma non ho capito come si calcola un vettore proporzionale.
Data la matrice:
$((5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))$
se ne calcolino gli autovalori e se ne discuta la diagonalizzabilita.
il mio problema e calcolare gli autovalori..riducendola per righe, ottengo 2 autovalori $\Lambda1$ =5 con molteplicità 1 e $\Lambda2$=0 con molteplicità 4
guardando le soluzioni ho notato ke $\Lambda1$ è uguale a 25,ma se riduco la matrice non ottengo lo stesso risultato? devo per forza calcolare gli autovalori senza ridurla?perche se cosi fosse ci metterei una ...
Salve, sono nuovo del forum. Ho un problema con un tema d'esame di geometria.
il testo recita: Trovare due rette distinte che abbiano come proiezione ortogonale sul piano x-y+z=0 la retta x-y+z=y=0.
ho capito che è il procedimento inverso a trovare una proiezione ortogonale di una retta su un piano. Scrivo il fascio di piani definito dai piani della proiezione ortogonale e poi impongo che il generico piano sia ortogonale al piano dato ma non so se è il procedimento è giusto . Inoltre 2 rette ...
Proprio questa stamattina, dopo tanto studio , ho finalmente dato l'esame di geometria 3 (topologia generale ed algebrica) e prima di dedicarmi ad un altro esame per la sessione estiva, il prof vedendomi interessato mi ha detto di dare uno sguardo ad alcuni esercizi, che sono una sorta di applicazioni di alcuni teoremi che abbiamo dimostrato nel corso, come: Gruppo fondamentale della circonferenza e della superficie sferica n-dimensionale; ora leggendo qualcosa mi sono imbattuto in questo ...
Gentili utenti del forum,
studiando gli autovalori e la diagonalizzabilità delle matriti mi sono imbattuto in un simpatico asserto:
ogni matrice ortonormale (che forse alcuni chiamano ortogonale) può possedere, come autovalori reali, soltanto +1 oppure -1.
Qualcuno potrebbe giustificarmi tale affermazione?
Grazie mille
Salve devo rappresentare un piano che contiene due rette (r e s)
il vettore direzionale di r è: (2,2,-1) mentre quello di s: (1,1/2,-1)
Adesso per rappresentare un piano che contenga entrambe le rette, come faccio?
Scusate ragazzi, sto uscendo pazzo, negli esercizi di geometria devo trovare spesso i vettori direttori e normali, ma sto facendo un pò di confusione.
Se ho delle rette su R^2:
[tex]r) ax+by+c=0[/tex]
[tex]r') a'x+b'y+c'=0[/tex]
Per trovare un vettore parallelo, e ortogonale considero:
1)[tex]ab'-a'b=0[/tex]
2)[tex]aa'+bb'=0[/tex]
Se le ho in forma parametrica:
[tex]r)ax+by+c=0[/tex]
[tex]r')x=x_0+lt[/tex]
[tex]y=y_0+mt[/tex]
Ho sempre:
1)am-bl=0
2)al+bm=0
Se ...
Per un vertice, ovviamente, passano infinite parabole. Lo si vede subito graficamente. Allora perchè conoscendo SOLO il vertice sono in grado di impostare TRE EQUAZIONI, sufficienti per trovarmi le tre variabili a,b,c che identifica la parabola di eq. $ax^2+bx+c=y$?
Esempio Vertice (1,2)
PRIMA EQUAZIONE. Il vertice appartiene alla curva:
(1) $a+b+c=2$
SECONDA EQUAZIONE. x vertice
(2) $- b/(2a)=1$
TERZA ...
Ciao, in vista dell'esame di geometria ed algebra lineare sto facendo alcuni esercizi d'esame e volevo chiedervi una cosa sullo studio dei sistemi lineari al variare del parametro $k$ in $RR$. più volte mi si chiede di trovare per quali valori del parametro il sistema è incompatibile, compatibile ecc..In particolare, bisogna studiare il rango della matrice completa e incompleta e applicare il teorema di Rouchè-Capelli. Il fatto è che bisogna davvero fare molti conti ...
Salva a tutti,
sto preparando l'esame di geometria I!
Ho molti dubbi su quiz di preparazione all'esame e gradirei molto un vostro aiuto!
1) Si consideri la funzione $f(x,y) = log(sin(x^2 + y^2 ))$; quale delle seguenti affermazioni vera?
(a) Il suo dominio unione di aperti
(b)lim f (x,y) non esiste
(x,y)→(0,0)
(c)lim f (x,y) esiste finito
(x,y)→(0,0)
(d) Il suo dominio connesso per archi
2) Si considerino la funzione $f(x,y) = ln(4x^2 + y^2 )$, e l’insieme $A={(x,y) ∈ R^2 : f (x,y)>0 }$ .
Quale delle seguenti affermazioni ...
Ciao a tutti. Domani ho di nuovo l'esame di geometria e mi sono accorta di aver dato per scontati alcuni esercizi che in realtà non ricordo come si svolgano.
Purtroppo ho lasciato sia i libri, sia gli esercizi che già avevo svolto, a casa (ora sono nella "casa universitaria", chiamiamola così) ed ho un dubbio riguardo questo esercizio:
Nello spazio euclideo standard [tex]E^3[/tex], determinare la proiezione ortogonale del vettore V= (1,1,3) sul piano di equazione cartesiana ...
Salve a tutti vi chiedo gentilmente di aiutarmi con questo esercizio in quanto ho qualche dubbio in qualche suo passaggio.
Allora, sia f: $R^3->R^3$ un'applicazione loneare associata alla matrice $((2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,h))$
1)trovare il valore di h per cui la f non è suriettiva. Ora una f è suriettiva se il rango della matrice associata è uguale alla dimensione dell'insieme di "arrivo" della f. Quindi per evitare che la matrice abbia rango 3, do ad h il valore 2.
2)Determinare una base di ...
Salve a tutti, ho in pratica un esercizio che ho svolto al 90%, ovvero dopo aver fatto i primi due passaggi e ad aver calcolato le dimensioni, sono incapace di trovare una base.
Dati i due sottospazi & U=[ (x -2y -z = 0), (2x -y -2z +t = 0) ] e W= L [ (-2,1,0,1), (1,0,1,0), (0,1,2,1) ] $<br />
<br />
L'esercizio chiede di determinare la dimensione e una base di $U+W $(i primi punti chiedevano semplicemente le basi e le dim singole).
Io ho trovato che la dimensione è 3, ma non ho la più pallida idea di calcolare una base di U+W.
Qualcuno mi può ...
Sia f:R3->R3 l'endomor smo de nito, rispetto alle basi canoniche, dalle relazioni:
[tex]f(1,0,0)=(1,01), f(0,10)=(1,h,2), f(0,01)=(0,1,h)[/tex]
Studiare f al variare di h determinando in ogni caso Kerf e Imf.
Per h=0 trovare la matrice associata alla f rispetto alla base [tex]A=[e_2,e_3,e_1][/tex] e [tex]B=[v,e_2,e_3[/tex] con e1 e2 e3 basi canoniche e v il vettore [tex](1,-1,0)[/tex]
Allora ho lavorato sulla prima parte e ridotto la matrice ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 ...
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