Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, amici! Per questa volta rompo le scatole con un esercizio... Dovrei dimostrare che la forma differenziale su \(\mathbb{R}^2\setminus\{\mathbf{0}\}\)\[\omega=\Big(\frac{-y}{x^2+y^2}\Big)\text{d}x+\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big)\text{d}y\]non è esatta. Tuttavia mi pare che la funzione $\theta(x,y)=-\arctan(x/y)$ abbia per derivate parziali proprio i coefficienti della forma differenziali e che $\omega=\text{d}\theta$... o do i numeri?
Si tratta dell'es. 45.1 di E. Sernesi, Geometria 2.
\(\infty\) grazie a ...
Ciao a tutti,
qualche anima gentile potrebbe espormi le differenze di risoluzione tra l'intersezione e l'unione di due sottospazi? Nell'unione, io non faccio altro che unire i coefficienti dei due sottospazi e risolvere la matrice se mi serve la dimensione. E per l'intersezione? PS l'esercizio mi chiede dimensione e base dell'intersezione. Che differenza c'è se la traccia mi da 2 sottospazi e se mi da due sistemi lineari?
salve a tutti,
se una funzione è isomorfa lo è anche la sua inversa ma quindi per far si che una funzione sia isomorfa l'insieme di arrivo e di partenza devono essere uguali?
Qual'è il significato geometrico del parametro d in un piano ? (ax+by+cz=s)
Ad esempio dati due piani
x+y+z=1 d=1
x+y+z=2 d=2
In cosa differiscono e in cosa sono simili a livello geometrico?
Grazie
Ciao a tutti, mi trovo un po' in difficoltà con Gauss. Aiutatemi a ridurre a scalini questa matrice 4X5 per determinarne il rango. Putroppo arrivo ad un punto in cui non riesco più ad andare avanti. Grazie in anticipo
Calcolare il rango della seguente matrice $ A=( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) $
Ho provato a svolgerla così con il metodo di eliminazione di Gauss, così potevo contare alla fine i pivot.
$( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) \to C_2=2C_2-C_4\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -8 , 1 , 4 , -9 ) ) \to$
$\to C_1=3C_1+C_5\to ( ( 0 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to R_1=R_1+R_3\to ( ( 0 , 0 , 14 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to$
$\to R_1=R_1-R_2 \to ( ( 0 , 0 , 7 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )$
Ok, ora non riesco più ad andare avanti. Qui è una ...
Sto cercando di prendere confidenza con questo tipo di dimostrazioni. Il teorema che segue e' in realta' un corollario del teorema di Rouche'-Capelli.
Sia $A \in M_{h \times n}(\mathbb{K})$. Dato il sistema $A\underline{x} = \underline{b}$, si dimostri che $Sol(A, \underline{b})$ e' un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}^n$ sse $\underline{b} = \underline{0}$.
L'implicazione inversa non mi da tanti dubbi -se $\underline{b} = \underline{0}$, allora per il teorema di R.C., $Sol(A, \underline{0})$ e' uno spazio vettoriale. Piuttosto, ...
Ciao!
Il 1° luglio devo dare l'esame di Matematica (sono uno studente universitario al primo anno di Economia) e tra i vari esercizi che mi possono capitare ce ne è uno dove proprio non so metter mano, ho provato anche a cercare su internet,ma nulla.
Data una matrice quadrata o 2x2 o al massimo 3x3 mi si chiede di calcolare:
1) Gli autovalori
E fin qua zero problemi.
2) Gli Autovettori Normalizzati
Calcolare gli autovettori non è un problema, invece non ho idea di come si ...
Ciao, amici! Trovo sul mio testo di geometria, il Sernesi, che ogni $r$-forma differenziale $\omega$ su un aperto \(U\subset\mathbb{R}^n\) si può esprimere in modo unico come\[\omega=\sum f_J \text{d}u_J\]dove la somma è estesa agli $r$-multiindici crescenti \(J=\{j_{1}...j_{r}\}\), $f_I$ sono funzioni a valori reali definite su $U$ e \(\text{d}u_J\) sono prodotti esterni tra le 1-forme \(\text{d}u_i\).
Ora, l'autore del mio testo ...
Ciao, amici! Ho passato tutto il giorno di ieri e la mattina di oggi a cercare di capire una dimostrazione, cercando approfondimenti su Internet ecc., ma non ne ricavo nulla.
Premetto che mi è chiaro che, dato un diffeomorfismo $f:U\to V$ con \(U,V\subset\mathbb{R}^{n}_{+}\), chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$, si ha che ...
Avrei due esercizi da proporvi che vorrei controllaste e sui quali mi sorgono alcuni dubbi:
1) Sia $ phi:RR^4->RR $ una forma bilineare simmetrica tale che $ phi(ul(x),ul(y))=ul(x)_tA_hul(y) $ con $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $ .
Cercare una base in cui la forma quadratica associata è il forma canonica.
Ho pensato di trasformare tramite operazioni simmetriche su righe e colonne la matrice $ A=( ( 5 , 1 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -3 , 1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) )( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ (insieme all'identità sulla quale agisco solo su righe)...
A destra ottengo quindi una matrice fatta dai vettori ...
salve a tutti. ecco un esercizio che non riesco a fare.
si considerei $R_2[X]$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficenti in $R$.
1)
studiare al variare di $h$ in $R$ l'appicazione lineare $f$ definita da $R_2[X]$ in $R^(4)$ tale che
$f(1)=(1,h,1,h)$
$f(x)=(h,1,h,1)$
$f(x^(2))=(2,2,1-h,-2h)$
determinando in ogni caso immagine di $f$ e nucleo di ...
Mi scuso qualora questa non fosse la sezione corretta.
Qualcuno potrebbe indicarmi una soluzione estesa per questi due problemi?
1. Dimostra l'identità di Lagrange: (u e v sono vettori, non riesco a scriverli...)
$(u . v)^2 +|u times v|^2 = (u^2 . v^2)$
Dove "." sta per "punto" e si riferisce al prodotto scalare, "x" sta per "cross" e si riferisce al prodotto vettoriale.
2. A,B,C, d sono i vertici di un tetraedro (anche non regolare). I vettori u, u', u'', u'' sono i vettori rivolti verso l'esterno e perpendicolari ...
Determinare l'equazione cartesiana della retta passante per $P(1,5,2)$ e parallela ai piani di equazione $\pi_1 : x-y+z = \sqrt(6)$ e $\pi_2 : 2x-y+3z=0$.
Ho ragionato al seguente modo.
Sia $(l,m,n)$ una terna di parametri di vettori di $r$ , $(l,m,n)!=(0,0,0)$. La generica retta passante per $P$ ha equazione del tipo
$(x-1)/l = (y-5)/m = (z-2)/n$.
Impongo la condizione di parallelismo con i due piani.
Devono esser soddisfatte contemporaneamente
1) $l-m+n=0$
2) ...
Ciao a tutti, vorrei capire se ho eseguito bene il calcolo del rango a queste 3 matrici. Ditemi e se c'è un modo più veloce, scrivetelo pure. Grazie in anticipo.
Calcolare il rango delle seguenti matrici $ A=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ); B=( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ),( 4 , 5 , 6 ) ); C=( ( 1 , -1 , 0 ),( 2 , -2 , 2 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
ho provato a svolgere così
$ A=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$ è una matrice $I_3$ $det A \ne 0$ quindi $\rho (A)=3$
in alternativa per questa matrice, ho anche contanto i pivot, e sono 3,, quindi $\rho (A)=3$
$B=( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ),( 4 , 5 , 6 ) )$ questa matrice ha ...
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi il significato dell'immagine http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_cone_and_polar_cone
che rappresenta il cono duale?
E' corretto affermare che il cono duale è l'insieme di tutti i vettori che si trovano entro 90° gradi dai vettori che appartengono all'insieme C? Potreste spiegarmi perchè?
nella geometria classica si parte con dei postulati e enti primitivi e poi si sviluppano i teoremi..
all' universita questo sembra dimenticato.... come si fonda la geometria analitica?
invece di vedere il piano la retta e il punto come enti primitivi se ne danno le equazioni e si dice la retta il piano e il punto hanno queste equazioni? come si fonda questo tipo di geometria?
Ciao a tutti vorrei un vostro parere :
si dimostra che la matrice di un cambiamento di base è invertibile...e io ho trovato tre modi differenti per dimostrarlo...uno si trova su algebra lineare for dummies uno è sfruttando la composizione dio funzioni e un altro utilizzando la definizione di matrice di cambiamento di base...ke poi sono molto simili tra di loro.
Io comunque l'invertibilità di una matrice la dimostrerei cosi:
per poter costruire la matrice applicata al cambiamento di base devo ...
Esercizio 1. Siano date le rette r : x = 0, y = 0, ed s : x = z, y = z.
a) r ed s sono sghembe.
no,le rette hanno in comune il punto ( 0 0 0 ) falsa.
b) r ed s sono ortogonali ed incidenti ad infinite rette.
il prodotto scalare tra vr e vs è pari a 1. no ortogonalita, falsa.
c) r ed s sostengono due dei tre lati di un triangolo equilatero.
d) r ed s sostengono due dei tre lati di un triangolo rettangolo.
C,D non riesco a capire quale potrebbe essere tra queste due
grazie.
Ciao a tutti! Sto affrontando qualche problema sullo spazio euclideo e ho visto che a volte torna molto comodo risolvere tramite fasci di rette o piani.
Ma la mia domanda è questa: come si costruiscono in generale questi fasci? (propri o impropri che siano?)
Mentre per le rette la cosa mi è molto chiara (caso già affrontato alle scuole superiori) non mi è così chiaro per i piani o eventualmente per i casi multidimensionali...probabilmente è così scontata che non hanno ritenuto fondamentale ...
salve,
qualcuno puo spiegarmi perché in una matrice ridotta per righe il numero di righe non supera quello delle colonne? a quanto ho capito è la proprietà che mi permette di dimostrare Leibniz
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