[RISOLTO] Una dimostrazione tanto semplice di algebra lineare

[giuscri]

Sto cercando di prendere confidenza con questo tipo di dimostrazioni. Il teorema che segue e' in realta' un corollario del teorema di Rouche'-Capelli.

Sia $A \in M_{h \times n}(\mathbb{K})$. Dato il sistema $A\underline{x} = \underline{b}$, si dimostri che $Sol(A, \underline{b})$ e' un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}^n$ sse $\underline{b} = \underline{0}$.

L'implicazione inversa non mi da tanti dubbi -se $\underline{b} = \underline{0}$, allora per il teorema di R.C., $Sol(A, \underline{0})$ e' uno spazio vettoriale. Piuttosto, sull'implicazione diretta sono abbastanza dubbioso:
per ipotesi, $Sol(A, \underline{b})$ e' uno spazio vettoriale, dunque dato che per il teorema di R.C. vale
\begin{equation*}
Sol(A,\underline{b}) = {\alpha}_{0} + Sol(A, \underline{0}) \qquad \alpha_{0} \in Sol(A, \underline{b})
\end{equation*}
devo avere
\begin{equation*}
Sol(A, \underline{b}) \ni {\alpha}_{0} + Sol(A, \underline{0}) + {\alpha}_{0} + Sol(A, \underline{0}) =
2 {\alpha}_{0} + Sol(A, \underline{0})
\end{equation*}
(valida perche $Sol(A, \underline{0})$ e' spazio vettoriale -teorema di R.C.).
Cioe'
\begin{align*}
\underline{b} & = A \cdot (2 {\alpha}_{0} + Sol(A, \underline{0})) = \\
& = A \cdot (2 \alpha_{0}) + A \cdot Sol(A, \underline{0}) = \\
& = 2 A \cdot \alpha_{0} + \underline{0}_{\mathbb{K}^n}
\end{align*}
Dunque, una catena di sse mi porta a $2 \underline{b} = \underline{b}$ -valida solo se $\underline{b} = \underline{0}_{mathbb{K}^n}$

Vinto?
Ringrazio

[Sk_Anonymous]

Sì, l'idea mi sembra quella giusta.

[giuscri]

"Delirium":Sì, l'idea mi sembra quella giusta.

Grazie per lo sguardo!

[Sk_Anonymous]

Di nulla. Questa "tecnica", o qualcosa di affine, viene usata spesso in algebra lineare - per esempio nella dimostrazione del teorema spettrale per operatori autoaggiunti.