Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Si considerino i seguenti sottospazi:
$W_1={(x,y,z,t)\in RR^4|x+y=0,y+z-t=0}$ $W_2=<(3,0,1,3);(2,1,0,3)>$
Costruire un endomorfismo $f:RR^4 -->RR^4$ Tale che:
1) $f(W_1)=W_1; f(W_2)=W_2$
2)f non è surgettiva
3) f non è diagonalizzabile.
Come d regolamento (direi anche per buonsenso) propongo una mia soluzione: ho visto che :
$W_1=<(-1,1,0,1);(1,-1,1,0)>$ e definisco i vettori di partenza su una base..dei vettori che generano W1 eW2 solo $(-1,1,0,1);(1,-1,1,0);(3,0,1,3)$ sono linearmente indipendenti perciò li completo a base con $(1,0,0,0)$ ora però ...
Ciao, amici! Speravo di arrivare ad una comprensione più profonda del concetto di campo vettoriale procedendo nel mio studio sul Sernesi, ma finora non sono molto sicuro di che cosa significhi la definizione secondo cui "un campo vettoriale (definito) su $S$", che è un sottoinsieme della varietà differenziabile $X$, "è il dato [grassetto mio] $\mathbf{V}$ di un vettore tangente \(\mathbf{V}(x)\in T_x(X)\) per ogni $x\in S$".
Che cos'è un dato?
Non sono ...
Grazie all'utente "ciromario" ho capito nella pratica che se ho {(x,y,z)ε R^3: x+ 2y+ z=0} e questo è uno spazio vettoriale, allora posso scrivere che x= -2y- z.
Da questa capisco che ho due variabili libere e quindi la dimensione è 2 e posso partire proprio da questa equazione per trovare una base del sottospazio: pongo y=1 e z=0 e ottengo il vettore (-2, 1, 0). Metto poi y=0, z=1 ed ottengo il vettore (-1, 0, 1) ed ottengo questa base: {(-2,1,0);(-1,0,1)}
Questo caso generale ora mi è ...
Consideriamo la curva piana parametrizzata $t->(3at/(1+t^3),3at^2/(1+t^3))$ con $a>0$.
Il vettore derivato rispetto al tempo è $(a(3-6t^3)/(t^3+1)^2,-3at(t^3-2)/(t^3+1)^2)$ che non si annulla mai, dunque mi verrebbe da dire che la parametrizzazione in questione è regolare.
Invece non è così, ma perchè?
Qualcuno può dirmi come impostare questo esercizio?
Sia $ A_kinM_n(CC) $ una matrice con polinomio minimo $ 1/6(3t - 1)(2t - 1)(t - k) $ con $ kinCC $ .
Determinare per quali valori di $ k $ la matrice $ A_k $ è invertibile.
Volevo anche una conferma su un altro esercizio: data una matrice dipendente da un parametro che rappresenta una generica forma quadratica, questa rappresenta un prodotto interno se è simmetrica e definita positiva?
Grazie in anticipo.
Salve, sto cercando di fare un esercizio di automatica con annesso calcolo di prodotto di matrici. Questo è il testo: http://tinyurl.com/btls7b4
L'ho rifatto cento volte ma non capisco dove sbaglio. Il denominatore mi viene giusto (dato che sarebbe 1/determinante della matrice di cui devo calcolare l'inversa). Ma la parte sopra davvero non riesco a risolverla. Tra l'altro mi chiedo come mai ci sia un'espressione di secondo grado dato che le espressioni con s non si "incontrano" tra di loro nel prodotto ...
si determini per quali valori di h la funzione $ f:R^3->R^3 $ è lineare
$ f(x,y,z)=(x+y,x-hy,z^2-h) $
la funzione è lineare se verifica la proprietà $ f(v1+v2)=f(v1)+F(v2) $
1) $ f(x+x^{\prime},y+y^{\prime},z+z^{\prime})=(x+y,x-hy,z^2-h)+(x^{\prime}+y^{\prime},x^{\prime}-hy^{\prime},z^('2)-h) $
$ (x+x^{\prime}+y+y^{\prime},x+x^{\prime}-hy-hy^{\prime},z^2+z^('2)-h)=(x+x^{\prime}+y+y^{\prime},x+x^{\prime}-hy-hy^{\prime},z^2+z^('2)-2h) $
$ z^2+z^('2)-h=z^2+z^('2)-2h $
$ h=0 $
2) $ f(kv1)=kf(v1) $
$ f(kx,ky,kz)=k(x+y,x-hy,z^2-h) $
$ (kx+ky,kx-khy,k^2z^2-h)=(kx+ky,kx-hky,kz^2-hk) $
$ kz^2-hk=k^2z^2-h $
l'unico valore per cui si veridica la 1 priprietà è per h=0, ma per h=0 non verifica la 2 infatti $ kZ^2!= k^2z^2 $
volevo sapere se ho risolto ...
Buongiorno!!
Faccio errori in praticamente TUTTI gli esercizi di diagonalizzazione di una matrice. La cosa bella è che non capisco DOVE sbaglio!
Vi posto qui un esercizio da me svolto sperando in una vostra correzione e spiegazione dell'errore generale.
Diagonalizzare
$ A= $
$(1.2.0)$
$(0.3.0)$
$(2.(-4).2)$
(Ho usato il punto per dividere gli elementi dato che me li metteva tutti attaccati)
Io inizio con il fare det(A-λI), ottenendo questi 3 autovalori: ...
Sia $E_2(V, RR, f)$ uno spazio affine euclideo.
Si considerino :
$ \sigma _ 1 x^2+y^2 -2x -4y -5 =0$
$ \sigma_2 : x^2 + y^2 -12x +23 = 0$
1) si dica se sono secanti.
2) Si trovi l'equazione della retta tangente a $\sigma_1$ passante per il punto $A(4,3)$.
svolgimento :
Punto 1)
Ho ragionato cosi.
Si verifica facilmente che $C_1(1,1)$ è il centro della prima circonferenza la quale ha raggio $\rho _1 =1$
e che $C_2(6,0)$ è il centro della seconda circonferenza che ha raggio ...
Ciao a tutti, cercavo di risolvere questo esercizio:
\( X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad x \in \mathbb{Q}\} \)
riesco a capire di che insieme stiamo parlando, ovvero un'insieme infinito di rette verticali, che hanno in comune la retta delle ascisse, ma non riesco a capire come faccio a trovare la chiusura e la parte interna!
grazie in anticipo per chi risponderà!
salve a tutti, in un esercizio ci sono le seguenti rette $ r:{ ( x=2 ),( y+z=0 ):} $ $ s:{ ( x-3y=-5 ),( y+z=4 ):} $
determinare se sono parallele, ortogonali, complanari o sghembe
parametri direttori di r: l=0 m=-1 n=1, s: l=-3 m=-1 n=1
a occhio si vedono che non sono proporzionali quindi le rette non sono parallele,
mi volevo togliere un dubbio sul teorema di kronecker sulle matrici 2x3
$ ( ( 0 , -1 , 1 ),( -3 , -1 , 1 ) ) $ posso prendere il tre come matrice di rango 1 ed orlarlo nei due modi possibili? dire che il rango della ...
Ciao,
sia $V$ uno Spazio vettoriale su $K$ e siano $V_1,...,V_n$ sotto spazi di $V$ allora dovrei dimostrare che
1) $dim(V_1 + ... + V_n) <= dim(V_1) +...+dim(V_n)$ e 2)l'uguaglianza vale se e solo se $V_1 +...+V_n$ è una somma diretta.
Il mio libro il Valabrega la 1 la dimostra cosi :
$V_1$ avrà base $B_1$...$V_n$ avrà base $B_n$ se si fa l'intersezione di queste basi questo sarà un insieme generatore ...
Sto considerando un corpo rigido monodimensionale, curvo, quindi è sempre, credo, possibile creare un'ascissa curvilinea, siccome faccio fatica, volevo chiedervi, il versore tangente all'ascissa $s$, che chiamiamo $t(s)$ perchè è la derivata rispetto all'ascissa di un punto del corpo preso in considerazione?
Salve!
Ecco l'esercizio che mi crea problemi:
"Riconoscere se i seguenti insiemi costituiscono uno spazio vettoriale. In caso affermativo trovarne la dimensione e una base."
1) {(x,y,z) ε R^3: x+ 2y+ z=0}
2) {(x,y,z) ε R^3: x+ y^2+ z=0}
Ecco il mio procedimento:
1) z=-x -2y
(z, y, -x-2y) è il vettore generico
(x1, y1, -x1-2y1)
(x2, y2, -x2-2y2)
Combino linearmente i due vettori:
x1+ 2y1- x1- 2y1=0
x2+ 2y2- x2- 2y2=0
(x1+ 2y1- x1- 2y1+ x2+ 2y2- x2- 2y2=0)
(x1+x2)+ 2(y1+y2)- (x1+x2)- ...
Salve ragazzi, avrei bisogno di sapere se ho fatto correttamente questi 2 esercizi:
1) Scrivere l'equazione del piano passante per $P=(0,2,0)$ e contenente la retta $r$ di equazioni cartesiane:
$\{(x -z= 0),(y + 2z = 1):}$
2)Si determini la retta r parallela al piano di equazione $x+2y+z+1=0$ , ortogonale al vettore di coordinate $(2,1, -1)$ e passante per il punto di coordinate $P=(-1 , 2, 1)$.
Si calcoli la distanza della retta $r$ dal punto di ...
Salve a tutti vorrei dimostrare il teorema di Ruoche-Capelli.
TEOREMA
Sistema lineare risolvibile $harr$ $\rho(A|B) = \rho(A)$ allora dovrei dimostrare la doppia implicazione
Dimostrazione
Sistema lineare risovibile $rArr ρ(A|B)=ρ(A)$
sistema Ax = b ammette soluzione se e solo se $b = x_1A_1+x_2A_2+. . .+x_nA_n$,
cio`e se e solo se b `e una combinazione lineare di $A_1,A_2, . . . ,A_n$
cio`e se e solo se $b ∈ L{A_1,A_2. . . ,A_n}$ e fin qui ci arrivo anche io ma poi la dimostrazione continua dicendo ...
Buongiorno,
ho il seguente esercizio:
"Per quali valori del parametro reale h è diagonalizzabile la matrice A?"
A=
(2 0 (h-1))
(0 1 0)
(h h 1)
IO ho fatto così:
det (A-λI)=
= (2-λ) (1-λ)^2 + -h(h-1)(1-λ)
= (1-λ) [(2-λ)(1-λ) -h(h-1)]
= (1-λ) [2-2λ-λ+λ^2-h^2+h)
= (1-λ) (λ^2-3λ+2-h^2+h)
Ora.. come cavolo si scompone il secondo polinomio per poi trovare gli autovalori????!
E' tutto il giorno che faccio calcoli con ruffini e provo cose strane ma nulla.. mi date una mano?
PER FAVORE SE ...
Buonasera, ho letto su una slide
Qualcuno mi può spiegare per bene cosa si intende?
Le proprietà che devono valere con somma e moltiplicazione per uno scalare devono essere chiuse e devono valere le seguenti proprietà:
-commutativa
-associativa
-elemento neutro
-elemento opposto
1)E' corretto? Purtroppo da nessuna parte è scritto sulle slides e non ...
Salve a tutti,
studiando geometria e algebra lineare mi sono imbattuto nel seguente problema:
(Scusate se non scrivo il testo ma scrivo da un cellulare)
Dopo svariati tentativi non sono ancora riuscito a ricavare una base tale che il prodotto scalare dei suoi elementi (a due a due) sia nullo.
Pensavo di utilizzare l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ma avrei bisogno a priori di una base ortogonale.
Sapreste dirmi almeno in teoria come procedereste?
Per la seconda parte penso ...
Salve!
Ho un problema con la soluzione di un esercizio:
"Stabilire per quali valori del parametro reale k le matrici
A=
(k 1)
(-1 0)
B=
(0 0)
(k 0)
C=
(1 k)
(-2 0)
sono linearmente indipendenti."
Io ho fatto così:
xA+ yB+ wC=0
il sistema relativo dovrebbe essere questo:
kx+ w=0
x+ kw=0
-x+ ky- 2w =0
Il fatto è che io ottengo che per k=0 le matrici sono linearmente indipendenti mentre le soluzioni dicono che le matrici sono linearmente DIPENDENTI per k=0.
Eppure si vede che per k=0 ...
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