Fasci di rette, piani... etc
Ciao a tutti! 
Sto affrontando qualche problema sullo spazio euclideo e ho visto che a volte torna molto comodo risolvere tramite fasci di rette o piani.
Ma la mia domanda è questa: come si costruiscono in generale questi fasci? (propri o impropri che siano?)
Mentre per le rette la cosa mi è molto chiara (caso già affrontato alle scuole superiori) non mi è così chiaro per i piani o eventualmente per i casi multidimensionali...probabilmente è così scontata che non hanno ritenuto fondamentale spiegarcelo. Deduco che bisogna fare qualche combinazione lineare, ma non capisco esattamente il motivo e, soprattutto, non mi ritrovo nel caso di fasci impropri. Mi chiedo poi se esista una sorta di "formula generale" per descrivere tali fasci di qualsivoglia varietà.
Ultima domanda, qualcuno sa dove posso trovare degli esercizi standard con cui posso fare pratica su questi concetti? (tipo, determina i piani di un determinato fascio che abbiano tali proprietà.... ecc)
Grazie
Sto affrontando qualche problema sullo spazio euclideo e ho visto che a volte torna molto comodo risolvere tramite fasci di rette o piani.Ma la mia domanda è questa: come si costruiscono in generale questi fasci? (propri o impropri che siano?)
Mentre per le rette la cosa mi è molto chiara (caso già affrontato alle scuole superiori) non mi è così chiaro per i piani o eventualmente per i casi multidimensionali...probabilmente è così scontata che non hanno ritenuto fondamentale spiegarcelo. Deduco che bisogna fare qualche combinazione lineare, ma non capisco esattamente il motivo e, soprattutto, non mi ritrovo nel caso di fasci impropri. Mi chiedo poi se esista una sorta di "formula generale" per descrivere tali fasci di qualsivoglia varietà.
Ultima domanda, qualcuno sa dove posso trovare degli esercizi standard con cui posso fare pratica su questi concetti? (tipo, determina i piani di un determinato fascio che abbiano tali proprietà.... ecc)
Grazie
Risposte
Ciao Elisa, qualche esempio svolto vale più di ogni parola.
(1) Determinare il piano parallelo a \( \pi : x + y + z = 0\) e passante per il punto \( A (1, 1, 1) \).
Tutti i piani paralleli ad uno assegnato (oltre al piano assegnato ovviamente) costituiscono quello che si chiama un fascio improprio di piani. Che caratteristica hanno in comune questi piani? Beh, di sicuro hanno la stessa giacitura, essendo paralleli.
Dal punto di vista dell'equazione, dunque, sono univocamente determinati i coefficienti \( A \), \( B \) e \( C \) dell'equazione \( Ax + By + Cz + D = 0 \) del generico piano di questo fascio. Tutti i piani paralleli a \( \pi \) son dunque caratterizzati dall'equazione
\[ \Phi_t : x + y + z + t = 0 \]
dove \( t \in \mathbb{R} \) è un parametro che, variando, individua tutti i piani del fascio improprio.
Il fatto che \( A \) appartenga al piano cercato lo individua in maniera univoca, cioè esiste un unico valore di \( t \) che soddisfa tale richiesta. Essendo nell'esercizio \( A = B = C = 1 \) e sostituendo le coordinate di \( A \) nell'equazione di \( \Phi_t \) si ottiene il valore di \( t \) cercato, ossia \( t = -3 \).
Il piano per \( A \) e parallelo a \( \pi \) è allora il piano di equazione
\[ \tilde{\pi} : x + y + z - 3 = 0 \]
che, se ci fai caso, effettivamente soddisfa la richiesta.
(2) Determinare il piano \( \pi \) contenente la retta \( r \) di equazione
\[ r : \cases{x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t} \] e passante per il punto \( A (0, -1, 0) \).
Tutti i piani contenenti una retta assegnata formano quello che si chiama un fascio proprio di piani. La caratteristica comune a tutti questi piani è avere come vettore della propria giacitura un qualsiasi vettore che determina la direzione della retta generatrice del fascio.
Nell'esercizio, \( r \) ha come vettore di direzione quello di componenti \( \pmatrix{1 \\ 1 \\ -1} \) rispetto alla base assegnata per dare le coordinate ai punti dello spazio euclideo.
Quindi \( \pi \) non è altro che il piano per \( A \) avente tra i suoi vettori di direzione quello appena trovato. Poiché \( A \notin r \), allora il piano è unico.
A te l'onore di determinare l'equazione di \( \pi \).
Vediamo ora la questione della combinazione lineare.
Se \( \pi_ 1 : A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1 = 0 \) e \( \pi_ 2 : A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2 = 0 \), evidentemente anche una combinazione lineare di questi due primi membri risulta nulla. Possiamo dunque scrivere
\[ \Phi : \lambda\, (A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1) + \mu\, (A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2) = 0 \]
al variare di \( \lambda, \mu \) non entrambi nulli (per ovvi motivi).
Questa equazione individua il fascio di piani generato da \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \). Se questi piani sono paralleli, allora il fascio è improprio e riottieni l'equazione di (1), altrimenti è proprio.
È possibile semplificare le cose utilizzando un solo parametro (sia \( \lambda \) il parametro non nullo): dividendo entrambi i membri di \( \Phi \) per \( \lambda \) ottieni (avendo per definizione \( \frac{\mu}{\lambda} := \alpha \)):
\[ \tilde{\Phi} : A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1 + \alpha\, (A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2) = 0 \]
che è più semplice da gestire. Così facendo, però, hai escluso dal fascio il piano \( \pi_2 \), dato che dovresti avere \( \alpha \rightarrow \infty \) per ottenere la sua equazione.
Fammi sapere se hai dubbi.
(1) Determinare il piano parallelo a \( \pi : x + y + z = 0\) e passante per il punto \( A (1, 1, 1) \).
Tutti i piani paralleli ad uno assegnato (oltre al piano assegnato ovviamente) costituiscono quello che si chiama un fascio improprio di piani. Che caratteristica hanno in comune questi piani? Beh, di sicuro hanno la stessa giacitura, essendo paralleli.
Dal punto di vista dell'equazione, dunque, sono univocamente determinati i coefficienti \( A \), \( B \) e \( C \) dell'equazione \( Ax + By + Cz + D = 0 \) del generico piano di questo fascio. Tutti i piani paralleli a \( \pi \) son dunque caratterizzati dall'equazione
\[ \Phi_t : x + y + z + t = 0 \]
dove \( t \in \mathbb{R} \) è un parametro che, variando, individua tutti i piani del fascio improprio.
Il fatto che \( A \) appartenga al piano cercato lo individua in maniera univoca, cioè esiste un unico valore di \( t \) che soddisfa tale richiesta. Essendo nell'esercizio \( A = B = C = 1 \) e sostituendo le coordinate di \( A \) nell'equazione di \( \Phi_t \) si ottiene il valore di \( t \) cercato, ossia \( t = -3 \).
Il piano per \( A \) e parallelo a \( \pi \) è allora il piano di equazione
\[ \tilde{\pi} : x + y + z - 3 = 0 \]
che, se ci fai caso, effettivamente soddisfa la richiesta.
(2) Determinare il piano \( \pi \) contenente la retta \( r \) di equazione
\[ r : \cases{x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t} \] e passante per il punto \( A (0, -1, 0) \).
Tutti i piani contenenti una retta assegnata formano quello che si chiama un fascio proprio di piani. La caratteristica comune a tutti questi piani è avere come vettore della propria giacitura un qualsiasi vettore che determina la direzione della retta generatrice del fascio.
Nell'esercizio, \( r \) ha come vettore di direzione quello di componenti \( \pmatrix{1 \\ 1 \\ -1} \) rispetto alla base assegnata per dare le coordinate ai punti dello spazio euclideo.
Quindi \( \pi \) non è altro che il piano per \( A \) avente tra i suoi vettori di direzione quello appena trovato. Poiché \( A \notin r \), allora il piano è unico.
A te l'onore di determinare l'equazione di \( \pi \).
Vediamo ora la questione della combinazione lineare.
Se \( \pi_ 1 : A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1 = 0 \) e \( \pi_ 2 : A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2 = 0 \), evidentemente anche una combinazione lineare di questi due primi membri risulta nulla. Possiamo dunque scrivere
\[ \Phi : \lambda\, (A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1) + \mu\, (A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2) = 0 \]
al variare di \( \lambda, \mu \) non entrambi nulli (per ovvi motivi).
Questa equazione individua il fascio di piani generato da \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \). Se questi piani sono paralleli, allora il fascio è improprio e riottieni l'equazione di (1), altrimenti è proprio.
È possibile semplificare le cose utilizzando un solo parametro (sia \( \lambda \) il parametro non nullo): dividendo entrambi i membri di \( \Phi \) per \( \lambda \) ottieni (avendo per definizione \( \frac{\mu}{\lambda} := \alpha \)):
\[ \tilde{\Phi} : A_1 X + B_1 Y + C_1 Z + D_1 + \alpha\, (A_2 X + B_2 Y + C_2 Z + D_2) = 0 \]
che è più semplice da gestire. Così facendo, però, hai escluso dal fascio il piano \( \pi_2 \), dato che dovresti avere \( \alpha \rightarrow \infty \) per ottenere la sua equazione.
Fammi sapere se hai dubbi.
Grazie mille, chiarissimo!
Allora, se ho capito correttamente, per trovare il piano della parte (2):
considero le rette
\(\displaystyle x-y+1=0 \) e \(\displaystyle x+z-1=0 \)
ne faccio una combinazione lineare \(\displaystyle x-y+1+k(x+z-1)=0 \)
impongo il passaggio per \(\displaystyle (0,-1,0) \)
quindi si ha: \(\displaystyle k=2 \)
dunque il piano cercato dovrebbe essere:
\(\displaystyle 3x-y+2z-1=0 \) Giusto?
E quindi, detta terra-terra, quando ho un fascio proprio faccio una combinazione lineare dei generatori, mentre se ho una fascio improprio lo posso scrivere come generatore + una costante? (come del resto facevo usualmente con le rette!) E ciò si può estendere al caso n-dimensionale?
Allora, se ho capito correttamente, per trovare il piano della parte (2):
considero le rette
\(\displaystyle x-y+1=0 \) e \(\displaystyle x+z-1=0 \)
ne faccio una combinazione lineare \(\displaystyle x-y+1+k(x+z-1)=0 \)
impongo il passaggio per \(\displaystyle (0,-1,0) \)
quindi si ha: \(\displaystyle k=2 \)
dunque il piano cercato dovrebbe essere:
\(\displaystyle 3x-y+2z-1=0 \) Giusto?
E quindi, detta terra-terra, quando ho un fascio proprio faccio una combinazione lineare dei generatori, mentre se ho una fascio improprio lo posso scrivere come generatore + una costante? (come del resto facevo usualmente con le rette!) E ciò si può estendere al caso n-dimensionale?
" y7xj0m":
Allora, se ho capito correttamente, per trovare il piano della parte (2):
considero le rette
\( \displaystyle x-y+1=0 \) e \( \displaystyle x+z-1=0 \)
Quelle equazioni non descrivono rette, bensì i piani che intersecati danno origine ad \( r \).
" y7xj0m":
ne faccio una combinazione lineare \( \displaystyle x-y+1+k(x+z-1)=0 \)
impongo il passaggio per \( \displaystyle (0,-1,0) \)
quindi si ha: \( \displaystyle k=2 \)
dunque il piano cercato dovrebbe essere:
\( \displaystyle 3x-y+2z-1=0 \) Giusto?
Non avrei saputo dir meglio.
" y7xj0m":
E quindi, detta terra-terra, quando ho un fascio proprio faccio una combinazione lineare dei generatori, mentre se ho una fascio improprio lo posso scrivere come generatore + una costante? (come del resto facevo usualmente con le rette!)
Detta terra-terra, sì.
" y7xj0m":
E ciò si può estendere al caso n-dimensionale?
Anche in questo caso è più facile capirsi con degli esempi.
Se tu hai due iperpiani (quindi oggetti che nello spazio di contesto si descrivono con un'unica equazione), puoi scrivere una loro combinazione lineare e ottenere un fascio di iperpiani. Per \( n = 2, 3 \) ottieni rispettivamente fasci di rette e piani nel piano e nello spazio tridimensionale.
Le cose si fanno più interessanti se vuoi introdurre ad esempio la nozione di fascio di rette nello spazio tridimensionale.
In tal caso di parla di stella di rette se ti interessano tutte le rette dello spazio aventi un punto in comune (o se sono tra loro parallele), sennò parli ancora di fascio di rette (ma stavolta nello spazio) se queste giacciono su un piano comune.
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