Applicazioni lineari
salve a tutti. ecco un esercizio che non riesco a fare.
si considerei $R_2[X]$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficenti in $R$.
1)
studiare al variare di $h$ in $R$ l'appicazione lineare $f$ definita da $R_2[X]$ in $R^(4)$ tale che
$f(1)=(1,h,1,h)$
$f(x)=(h,1,h,1)$
$f(x^(2))=(2,2,1-h,-2h)$
determinando in ogni caso immagine di $f$ e nucleo di $f$.
2)
dire per quali valori di $k$ esiste un applicazione lineare $g$ definita da $R^(4)$ in $R_2[X]$ tale che la composizione
$gOf$ sia l'endomorfismo identico.determinare la generica $g$.
sul primo punto vado molto bene, perchè mi calcolo la matrice relativa all'appicazione , $ (1,x,x^(2))$ è la base canocica di $R_2[X]$ e la funzione mi da le relative immagini, e quindi studio l'applicazione.
è il secondo punto che non riesco a fare. come fareste voi. ?
io devo trovare la funzione $g$ per certi valori di $k$ (determinando tali valori ) in modo tale che composta con $f$ ottengo l'endomorfismo identico.
si considerei $R_2[X]$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficenti in $R$.
1)
studiare al variare di $h$ in $R$ l'appicazione lineare $f$ definita da $R_2[X]$ in $R^(4)$ tale che
$f(1)=(1,h,1,h)$
$f(x)=(h,1,h,1)$
$f(x^(2))=(2,2,1-h,-2h)$
determinando in ogni caso immagine di $f$ e nucleo di $f$.
2)
dire per quali valori di $k$ esiste un applicazione lineare $g$ definita da $R^(4)$ in $R_2[X]$ tale che la composizione
$gOf$ sia l'endomorfismo identico.determinare la generica $g$.
sul primo punto vado molto bene, perchè mi calcolo la matrice relativa all'appicazione , $ (1,x,x^(2))$ è la base canocica di $R_2[X]$ e la funzione mi da le relative immagini, e quindi studio l'applicazione.
è il secondo punto che non riesco a fare. come fareste voi. ?
io devo trovare la funzione $g$ per certi valori di $k$ (determinando tali valori ) in modo tale che composta con $f$ ottengo l'endomorfismo identico.
Risposte
qualcuno potrbbe aiutarmi?
potrei sfruttare la linearità di f e g?
potrei sfruttare la linearità di f e g?
$k$ sarebbe $h$?
La matrice della funzione è:
$((1,h,2),(h,1,2),(1,h,1-h),(h,1,-2h))$
Devi avere rango massimo, altrimenti l'inverso non è costruibile, in particolare devi guardare i quattro minori e imporre che almeno uno sia di rango massimo:
$M_1=|(1,h,2),(h,1,2),(1,h,1-h)|=h^3+h^2-h-1=> h=±1$
Per questi due valori vediamo direttamente i nuovi minori:
$M_(2,h=1)=|(1,1,2),(1,1,2),(1,1,0)|=0$
$M_(2,h=-1)=|(1,-1,2),(-1,1,2),(1,-1,2)|=0$
$M_(3,h=1)=|(1,1,2),(1,1,0),(1,1,-2)|=0$
$M_(3,h=-1)=|(1,-1,2),(1,-1,2),(-1,1,2)|=0$
$M_(4,h=1)=|(1,1,2),(1,1,0),(1,1,-2)|=0$
$M_(4,h=-1)=|(-1,1,2),(1,-1,2),(-1,1,2)|=0$
Quindi avremo l'inverso se e solo se h≠±1.
Hai capito fino a qui?
$((1,h,2),(h,1,2),(1,h,1-h),(h,1,-2h))$
Devi avere rango massimo, altrimenti l'inverso non è costruibile, in particolare devi guardare i quattro minori e imporre che almeno uno sia di rango massimo:
$M_1=|(1,h,2),(h,1,2),(1,h,1-h)|=h^3+h^2-h-1=> h=±1$
Per questi due valori vediamo direttamente i nuovi minori:
$M_(2,h=1)=|(1,1,2),(1,1,2),(1,1,0)|=0$
$M_(2,h=-1)=|(1,-1,2),(-1,1,2),(1,-1,2)|=0$
$M_(3,h=1)=|(1,1,2),(1,1,0),(1,1,-2)|=0$
$M_(3,h=-1)=|(1,-1,2),(1,-1,2),(-1,1,2)|=0$
$M_(4,h=1)=|(1,1,2),(1,1,0),(1,1,-2)|=0$
$M_(4,h=-1)=|(-1,1,2),(1,-1,2),(-1,1,2)|=0$
Quindi avremo l'inverso se e solo se h≠±1.
Hai capito fino a qui?
si. e poi come continuo?
Trovi l'inverso di un minore 
E la riga/colonna che non usi la metti a zero
In poche parole prendi la funzione ristretta alle prime 3 componenti (puoi scegliere le righe che preferisci in realtà)
e fai l'inversa, siccome il tuo spazio ha dimensione 4, la quarta colonna la poni uguale a 0 ed ecco la tua "inversa".
E la riga/colonna che non usi la metti a zero In poche parole prendi la funzione ristretta alle prime 3 componenti (puoi scegliere le righe che preferisci in realtà)
e fai l'inversa, siccome il tuo spazio ha dimensione 4, la quarta colonna la poni uguale a 0 ed ecco la tua "inversa".
ho capito quello che mi hai detto, ma non capisco come scrivere l'applicazione $g$ richiesta
Basta fare i conti
$((1,h,2,1,0,0),(h,1,2,0,1,0),(1,h,1-h,0,0,1))=> ((1,0,0,1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h)),(0,1,0,-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2),(0,0,1,1/(1+h),0,-1/(1+h)))$
Quindi l'inverso è:
$((1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h)),(-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2),(1/(1+h),0,-1/(1+h)))$
E la matrice di g:
$((1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h),0),(-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2,0),(1/(1+h),0,-1/(1+h),0))$
$((1,h,2,1,0,0),(h,1,2,0,1,0),(1,h,1-h,0,0,1))=> ((1,0,0,1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h)),(0,1,0,-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2),(0,0,1,1/(1+h),0,-1/(1+h)))$
Quindi l'inverso è:
$((1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h)),(-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2),(1/(1+h),0,-1/(1+h)))$
E la matrice di g:
$((1-h^2/(1-h^2)-(2h)/(1+h)^2-2/(1+h),h/(1-h^2),(2h)/(1+h)^2+2/(1+h),0),(-h/(1-h^2)-2/(1+h)^2,1/(1-h^2),2/(1+h)^2,0),(1/(1+h),0,-1/(1+h),0))$
non ho capito la matrice che hai scritto subito dopo le parole "basta fare i conto"
il vettore che hai scritto subito dopo e la matrice che ha hai ricavato!
potresti spiegarmi meglio?
il vettore che hai scritto subito dopo e la matrice che ha hai ricavato!
potresti spiegarmi meglio?
Ha impaginato male, ora ho sistemato
Si tratta di una matrice che si usa per trovare l'inversa, non la conosci?
Si tratta di una matrice che si usa per trovare l'inversa, non la conosci?
no:( aiuto:(
Come trovi l'inversa di una matrice?
l'inversa della matrice è $B=(b_ji)$ dove $b_ji$ è il complemento dell'elemento di posto $_ij$ della matrice di cui voglio fare l'inversa diviso il determinante della matrice
Ah, quindi non conosci il metodo che ho usato, molto male! 
no.. assolutamente.... di cosa si tratta?
Un modo "semplice" per calcolare l'inversa è scrivere affiancate una matrice e l'identità e poi fare operazioni sulle righe fino a che ottieni la matrice identica al posto della matrice di partenza, otterrai, dove c'era l'identità, l'inversa.
Per esempio:
$n=2$
$((a,b),(c,d))^-1->((a,b,| 1,0),(c,d,| 0,1))->((1,b/a,| 1/a,0),(0,d -(bc)/a,| -c/a,1))->((1,b/a,| (1 -bc/(ad-bc))/a,-b/(ad-bc)),(0,1,| -c/(ad-bc),a/(ad-bc)))->$
$->((1,0,| d/(ad-bc),-b/(ad-bc)),(0,1,| -c/(ad-bc),a/(ad-bc)))->((a,b),(c,d))^-1=1/\text{det} ((d,-b),(-c,a))$
Per esempio:
$n=2$
$((a,b),(c,d))^-1->((a,b,| 1,0),(c,d,| 0,1))->((1,b/a,| 1/a,0),(0,d -(bc)/a,| -c/a,1))->((1,b/a,| (1 -bc/(ad-bc))/a,-b/(ad-bc)),(0,1,| -c/(ad-bc),a/(ad-bc)))->$
$->((1,0,| d/(ad-bc),-b/(ad-bc)),(0,1,| -c/(ad-bc),a/(ad-bc)))->((a,b),(c,d))^-1=1/\text{det} ((d,-b),(-c,a))$
non capisco cosa hai fatto, le operazioni..
Quello che ha fatto è operare una specie di eliminazione di Gauss all'ingiù e all'insù (back and forth) sulla matrice di partenza e anche, parallelamente, sulla matrice identità (operando le stesse trasformazioni elementari che usi per ridurre la matrici di partenza a gradini sulla matrice identica); affiancandole, come ha fatto Maci86, il tutto risulta più immediato.
Seneca, mi sa che non conosce l'eliminazione di Gauss, sbaglio Mari?
esatto
non l'abbiamo fatta
non l'abbiamo fatta
Oh, scusate. Non ne avevo avuto sentore.
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