Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti ragazzi, vorrei sapere se è corretto verificare che il vettore $ (1, 2, 1) $ appartiene all'immagine dell'endomorfismo il quale ha matrice associata :
$ ( ( 6 , 7/2 , 2 ),( -4 , -2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
è giusto fare in questo modo?
$ ( ( 6 , 7/2 , 2 ),( -4 , -2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ $ * $ $ ( ( a ),( b ),( c ) ) $ $ = (1,2, 1) $
e in questo caso non dovrebbe appartenere all'immagine giusto?
Grazie in anticipo
Visto le recenti parrucconate che ho sparato, chiedo anche un'altra cosa: considero \[X=\prod_{i=1}^{\infty} [0,1]=[0,1] \times [0,1] \times \dots \] e \[Y= \prod_{i=1}^{\infty} [0, 1/i]=[0,1] \times [0,1/2] \times [0, 1/3 ] \times \dots \]Questi due sono spazi metrici? Secondo me sì, se li munisco nella distanza \(d: X \times X \to \mathbb{R}\) definita da \(d(x,y)= \max_{i} |x_i - y_i|\). Ma sono isometrici? Con questa distanza, la vedo dura...
Ringrazio.
Salve a tutti io ho un sistema lineare a 4 equazioni e vorrei esplicitare 4 incognite in funzione di un'altra mi spiego meglio e riporto qui sotto il sistema :
A*cos(theta1)+B*cos(theta2+beta)+C*cos(theta5)+D*cos(theta6) - E = 0
A*sin(theta1)+B*sin(theta2+beta)+C*sin(theta5)+D*sin(theta6) = 0
A*cos(theta1)+B*cos(theta2)+C*cos(theta3) -E -F = 0
A*sin(theta1)+B*sin(theta2)+C*sin(theta3)= 0
le quantità note sono : A,B,C,D,E,F e beta.
ora vorrei risolvere il sistema in modo che abbia :
theta2 = ...
Considero \(\{0,1\}\) con la topologia discreta e quindi \(X=\prod_{i=1}^{\infty} \{0,1\}=\{0,1\} \times \{0,1\} \times \dots \)
Mi domandavo: se "metto su" \(X\) la topologia prodotto, essa è discreta? In pratica "mettere su" \(X\) la topologia discreta significa considerare come aperti le intersezioni tra le antimmagini di aperti di \(\{0,1\}\) (che poi sarebbero \(\{0\}\), \(\{1\}\), \(\{0,1\}\) e \(\varnothing\)) tramite le varie proiezioni.
Sperando di non dire sciocchezze, considero per ...
buongiorno ragazzi, vi propongo il testo di un esercizio di esame:
Sia $ P=(1,0,-1) $ e sia $ s: { ( x=z-2 ),( y=-2z-3 ):} $ calcolare l'equazione della retta passante per P e perpendicolare ad s!
Ho proceduto in questo: s la scrivo in forma parametrica per cui si ha per $ z=t $ $ s: { ( x=-2+t),(y=-3-2t),(z=t) } $ per cui il punto per cui la retta s passa per $ t=0 $ è $ Q=(-2,-3,0) $ mentre i direttori di s sono $ (1,-2,1) $ la retta passante per P e perpendicolare a s è ...
Ciao a tutti, qualcuno mi aiuta a risolvere questo esercizio?
Scrivere l'equazione della retta del piano x=3, tangente nel punto di ordinata 4 al grafico della funzione z=radq(x^2+y^2)
Buongiorno a tutti. Vi espongo un esercizio in cui sto trovando difficoltà.
Dati i vettori u( 1+t , 1-t , -1); v(2, -t, 0) w(t, 0, -1) si determini
a) il valore di t tale che u e w siano paralleli.
b) per t= -1 i vettori z del piano di u e w che formano angoli uguali con i due vettori.
c) una base ortonormale dello spazio che contenga un vettore parallelo a v.
Il punto a l'ho risolto imponendo la condizione di parallelismo cioé u/w= b e ho risolto dicendo che non sono paralleli per nessun ...
Ieri, facendo il secondo compitino di algebra lineare mi sono ritrovato un esercizio che non ho saputo risolvere, avevo un prodotto scalare $\phi$ in cui mi si dava solo la matrice associata. Il primo punto chiedeva di trovare la segnatura del prod.scalare $(2,1,1)$ e le equazioni cartesiane del radicale dello spazio di partenza. Fin qui tutto bene.
Nel due chiedeva di trovare una base di un ssv. Di V tale che la dimensione fosse 3 e quella del suo ortogonale 2. Qui non ...
Sia \(f \in \operatorname{End}(V)\). Sia \(\{\underline{v}_1, \ldots{}, \underline{v}_m\}\) un set di autovettori relativi all'operatore \(f\), e sia \(\{\lambda_1, \ldots{}, \lambda_m\}\) il set degli autovalori relativi -con \(\lambda_i \neq \lambda_j\), se \(i \neq j\).
Allora il set di autovettori e' libero?
EDIT*: la dimostrazione immediatamente qui sotto e' stata un pelo corretta in spoiler.
Direi di si. Infatti: esista per assurdo un indice \(i\) tale ...
Ciao a tutti, non riesco a capire come risolvere un esercizio molto semplice di algebra lineare, sto cercando di farmi uno scherma risolutivo "universale"...
$ Ax= | ( 4 , 8 ),( 2 , 4 ) | $
$ b= |(-4),(-2)| $
trovare la soluzione...
Senza saper nè leggere nè scrivere noto che non è crameriana perchè il determinante è =0, penso di dover usare il teorema di rouchè capelli ma non ho nessuna applicazione pratica su matrici così piccole, potreste mostrarmi i passaggi???
Vi ringrazio!
Come da titolo cerco il termine matematichese italiano per indicare il "Germes suivant un filtre".. Sto leggendo il Bourbaki di Topologia, mi è chiaro il concetto ma non so in che termine si esprima in italiano:
Data una relazione di equivalenza $R_\mathfrak{F}$:${exists V in \mathfrak{F} | MnnV=NnnV}=> M R_\mathfrak{F} N$
Si dice che la classe modulo $R_\mathfrak{F}$ di un sottoinsieme $M$ è "le germe de $M$ suivant $\mathfrak{F}$"..
Grazie mille a chi può darmi una mano..
ciao ragazzi, facendo i cambiamenti di base da una qualsiasi a una ortonormale è venuto fuori che la matrice associata a questo cambiamento di base è triangolare alta. La domanda che mi viene è : ad ogni matrice triangolare alta è possibile associare un cambiamento di base da una base qualsiasi a una ortonormale?
Hudio
Stabilirese
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a^2 \\
0
\end{pmatrix}
\subset \mathbb{R}^2
\end{equation*}
e' uno spazio vettoriale.
Mi sembra piuttosto chiaro che la risposta sia no, ma perche?
\begin{equation*}
\underline{v} + \underline{w} = \binom{v_1^2}{0} + \binom{w_1^2}{0} = \binom{v_1^2 + w_1^2}{0}
\end{equation*}
Perche' non puo' stare nel sottoinsieme di partenza. Mi basta
\begin{equation*}
a := \sqrt{v_1^2 + w_2^2}
\end{equation*}
no?
[size=85]EDIT: ho corretto un paio di cose.[/size]
La dimostrazione che e' stata trattata a lezione mi sembra un po' meno elegante di quella che mi e' venuta in mente -il che mi desta un po' di sospetti. Vado:
Sia \(A \in M_{n\times{n}}(\mathbb{K})\) -con \(n=1 \vee n=2\). \(\det(A) \neq 0\), allora \(A\) e' invertibile.
Se \(n = 1\), \(A\) e' un numero, e il determinante di \(A\) coincide con \(A\) stesso. Ha senso parlare di inverso solo se \(A \neq 0\) -cioe' se ...
Ciao, il problema è questo: Abbiamo una retta $r$ non tangente ad una conica $Gamma$, quindi la interseca in due punti distinti.
Dato un punto $P\inr$, esiste uno ed un solo coniugato $Q$ di $P$ contenuto in $r$, ed è dato dall'intersezione tra $r$ e la polare di $Gamma$.
Quindi l'applicazione $omega:r->r$ data da $omega(P)=text{unico coniugato di P in r}$ è un involuzione con punti fissi le intersezioni. Tuttavia ...
Dire se
\[ \left\{ \binom{a+2b \; -\!3}{2a-b \; -\!1}\right\} \subset \mathbb{R}^2 \]
sia/non sia uno spazio vettoriale.
Come mi piacerebbe chiuderlo:
\[ \underline{v}+\underline{w}=\binom{(a+c)+2(b+d)-6}{2(a+c)-(b+d)-2}
\qquad \underline{v}=\binom{a+2b-3}{2a-2b-1},\,\underline{w}=\binom{c+2d-3}{2c-2d-1}\]
Se riuscissi a scrivere
\[ (a+c) + 2(b+d) - 6 = \xi + 2 \eta -3\]
e
\[ 2(a+c) - (b+d) - 2 = 2 \xi - \eta -1\]
per un qualche set \(\{\eta, \xi\}\) -sa il cielo chi siano- avrei ...
Sarà pure una stupidata, ma ho un dubbio sulla topologia generata da un insieme; nella fattispecie non riesco a capire "che cosa essa contenga".
Se \(X\) insieme, considero \(A \subset \mathcal{P}(X)\) e la sua topologia generata \(\mathcal{T}_A\), che abbiamo definito come l'intersezione di tutte le topologie che contengono \(A\). Volendo però dare una descrizione "meno vaga" di \(\mathcal{T}_A\) ho pensato che essa contenga: \(A\), \(\varnothing\), intersezioni finite di elementi di \(A\), ...
Ciao ragazzi mi servirebbe un aiuto con questo esercizio.Determinare la dimensione ed una base dei sotto spazi V ed U rappresentati nel riferimento naturale dalle equazioni $V:{(x_1+x_2-x_3=0),(-x_2-x_3+x_4=0),(-x_1-2x_2+x_4=0)}$ ed $U:{(x_2=0),(-x_1+x_2+x_4=0)}$. Determinare la dimensione ed una base di $U+V$ e $UnnV$. Ho ragionato in questo modo:
la matrice associata ad V è $((1,1,-1,0),(0,-1,-1,1),(-1,-2,0,1))$ dopo averla ridotta ottengo $((1,1,-1,0),(0,-1,-1,1),(0,-1,-1,1))$ quindi $rg(V)=2$ e di conseguenza $dim(V)=n - rg(V)=4-2=2$,una base di V sarà data ...
salve quest'oggi ho visto un introduzione sulle applicazioni lineari.
Ma gia alla prima pagina ho avuto difficolta.... vi spiego meglio:
$V=P_3[x]$
${x^3, x^2, x, 1}$ formano una base di $P_3[x]$
sotto c'è un esempio:
ve lo copio pari pari
${x^3+1;x^2-x;2x;3}$ è una base di $P_3[x]$ dove
$vec(e_1)= x^3+1 $
$vec(e_2)= x^2-x $
$vec(e_3)=2x $
$vec(e_4)= 3$
fin qua ci sono ... poi arriva il dilemma... nel senso che non ho proprio capito da qui come abbia potuto ...
Ecco la traccia:
Vi espongo i miei dubbi:
a) Ho posto, x=z,y=x+t e z=y-t, così ho [(x, x+t, y-t, t)] = x(1,1,0,0) + y(0,0,1,0) + z(0,0,0,0) + t(0,1,-1,1) e non so andare avanti...
b) Se ad esempio ho un altro sottospazio vettoriale espresso come W, ad esempio T=L((0,1,3,0), (1,1,1,0)) (inventato proprio), W + T = L((0,1,1,0), (0,2,1,1), (0,1,3,0), (1,1,1,0)) è giusto? Ma io ho U espresso con equazioni, come mi devo muovere?
Grazie in anticipo
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