Geometria in $A_3$ [EX]

[Kashaman]

Determinare l'equazione cartesiana della retta passante per $P(1,5,2)$ e parallela ai piani di equazione $\pi_1 : x-y+z = \sqrt(6)$ e $\pi_2 : 2x-y+3z=0$.

Ho ragionato al seguente modo.
Sia $(l,m,n)$ una terna di parametri di vettori di $r$ , $(l,m,n)!=(0,0,0)$. La generica retta passante per $P$ ha equazione del tipo
$(x-1)/l = (y-5)/m = (z-2)/n$.
Impongo la condizione di parallelismo con i due piani.
Devono esser soddisfatte contemporaneamente
1) $l-m+n=0$
2) $2l-m+3n=0$.
Scegliendo $M=|((1,-1),(2,-1))|=-1+2=1!=0$ come minore fondamentale e attribuendo ad $n$ valore parametrico , risolvendo il sistema, ho che
$l=k-3k$ , $m = -3k+2k$ ed $n=k$. Scelto $k=1$ ho che $l=-2,m=-1, n =1$.
Dunque la retta :
$r : $$(x-1)/(-2) = (y-5)/(-1) = (z-2)/1$.
ossia $r$ di equazioni cartesiane
$x-2y+9=0$
$y+z-7=0$ è la retta richiesta.

Confermate?

Grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Ho ragionato diversamente e i risultati non sono gli stessi. Non so se ci sono errori di calcolo ma il mio ragionamento mi sembra più immediato: ogni retta in $A_3$ è intesa come intersezione di due piani, nel caso particolare questi due piani che chiamiamo $\rho_1$ e $\rho_2$ saranno uno parallelo a $\pi_1$ e passante per $P$ e l'altro parallelo a $\pi_2$ e passante per $P$. Ricordando che il fascio di piani paralleli ad un piano generico $ax+by+cz+d=0$ è dato da $ax+by+cz=k, k in K$, si ha che, imponendo il passaggio per $P$, i piani $\rho_1,\rho_2$ hanno equazione:
$\rho_1: x-y+z=-2$
$\rho_2: 2x-y+3z=3$
Mettendo queste due equazioni a sistema si trovano le equazioni della retta cercata.

[Kashaman]

molto bella la tua soluzione, in effetti è più sbrigativa. Però mi chiedo se la mia abbia difetti concettuali o meno. O sia errata solo nei conti , che rifarò domani. Spero in qualcuno che mi indichi dove sta l'inghippo concettuale, se c'è