Funzione isomorfe
salve a tutti,
se una funzione è isomorfa lo è anche la sua inversa ma quindi per far si che una funzione sia isomorfa l'insieme di arrivo e di partenza devono essere uguali?
se una funzione è isomorfa lo è anche la sua inversa ma quindi per far si che una funzione sia isomorfa l'insieme di arrivo e di partenza devono essere uguali?
Risposte
Non proprio... Si ha che $F: X rarr Y$ è isomorfa $iff AA y in Y$ $EE ! x$ tale che $F(x)=y$.
Poi ci sono diverse proprietà, ad esempio se $F$ è lineare e ingettiva e $dim(X)=dim(Y) rArr F$ è isomorfismo (da notare che $dim(X)=dim(Y)$ non vuol dire $X=Y$!!)
Poi ci sono diverse proprietà, ad esempio se $F$ è lineare e ingettiva e $dim(X)=dim(Y) rArr F$ è isomorfismo (da notare che $dim(X)=dim(Y)$ non vuol dire $X=Y$!!)
scusa ma dire che le dimensioni di due spazi vettoriali non equivale a dire che sono uguali?
Faccio un esempio: considero l'insieme dei numeri pari da 1 a 10 e lo indico con $A={2,4,6,8,10}$ e l'insieme costituito dai numeri dispari da 1 a 10 $B={1,3,5,7,9}$. Come vedi risulta $dim(A)=dim(B)=5$ ma gli insiemi sono decisamente diversi!
Ti faccio un esempio riguardo la tua prima domanda.
Siano i sottospazio vettoriali $X=L(0,0,1)$(sottospazio generato da (0,0,1)) e $Y=L(1,0,0)$. Ovviamente $dim(X)=dim(Y)=1$ ma $X!=Y$.
Sia l'applicazione $F:X rarr Y$ tale che $AA x=(a,0,0) in X$ $F(0,0,a)=(a,0,0)$. Allora F è isomorfismo con inversa $F^-1:Y rarr X$ definita ponendo $AA y=(0,0,a) in Y$ $F^-1(a,0,0)=(0,0,a)$.
Siano i sottospazio vettoriali $X=L(0,0,1)$(sottospazio generato da (0,0,1)) e $Y=L(1,0,0)$. Ovviamente $dim(X)=dim(Y)=1$ ma $X!=Y$.
Sia l'applicazione $F:X rarr Y$ tale che $AA x=(a,0,0) in X$ $F(0,0,a)=(a,0,0)$. Allora F è isomorfismo con inversa $F^-1:Y rarr X$ definita ponendo $AA y=(0,0,a) in Y$ $F^-1(a,0,0)=(0,0,a)$.
ok mi è chiaro ma adesso sono confuso su un altra cosa...io ho studiato che se due sottospazi hanno stessa dimensioni questi sono uguali...
Forse confondi il segno di isomorfismo con quello di uguaglianza... Perché c'è una proposizione che dice:
Due spazi vettoriali sono isomorfi $iff$ hanno stessa dimensione. I due simboli(quello di uguaglianza e quello di isomorfismo) sono molto simili tra loro
Due spazi vettoriali sono isomorfi $iff$ hanno stessa dimensione. I due simboli(quello di uguaglianza e quello di isomorfismo) sono molto simili tra loro
no adesso non mi riferisco più ad isomorfismi ma in generale...adesso il dubbio è :
due spazi vettorali che hanno la stessa dimensione possono anche essere diversi? e a quanto pare si...
due sottospazi che hanno la stessa dimensione sono uguali?
due spazi vettorali che hanno la stessa dimensione possono anche essere diversi? e a quanto pare si...
due sottospazi che hanno la stessa dimensione sono uguali?
Se hanno gli stessi generatori, sì.
Mi sono ricordata di una proprietà riguardante i sottospazi vettriali:
Sia $V$ spazio vettoriale su $K$ e sia $W$ un suo sottospazio. Se $dim(W)=dim(V) rArr W=V$.
L'ipotesi fondamentale è che però uno è sottospazio dell'altro, non che sono due sottospazi qualsiasi
Sia $V$ spazio vettoriale su $K$ e sia $W$ un suo sottospazio. Se $dim(W)=dim(V) rArr W=V$.
L'ipotesi fondamentale è che però uno è sottospazio dell'altro, non che sono due sottospazi qualsiasi
si ma questa è un implicazione...dovrebbe essere un equivalenza
L'implicazione inversa non c'entra con i sottospazi. Se due spazi sono uguali hanno ovviamente stessa dimensione
ok quindi due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale se hanno la stessa dimensione questo implica che sono uguali...e come dici tu il viceversa è ovvio...giusto?
Esatto
Prendi questi due spazi vettoriali:
1)Polinomi di grado inferiore a 2
2)R^2
Stiamo ovviamente parlando di due spazi diversi ma, vedendo le dimensioni, capisci subito che sono isomorfi, infatti una base per il primo è:
$P[x]_(<2)=<(1),(x)>$
Per il secondo è:
$R^2=$
1)Polinomi di grado inferiore a 2
2)R^2
Stiamo ovviamente parlando di due spazi diversi ma, vedendo le dimensioni, capisci subito che sono isomorfi, infatti una base per il primo è:
$P[x]_(<2)=<(1),(x)>$
Per il secondo è:
$R^2=
Esatto. Due spazi sono isomorfi $rArr$ hanno stessa dimensione
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