Due problemini sul prodotto vettoriale/scalare
Mi scuso qualora questa non fosse la sezione corretta.
Qualcuno potrebbe indicarmi una soluzione estesa per questi due problemi?
1. Dimostra l'identità di Lagrange: (u e v sono vettori, non riesco a scriverli...)
$(u . v)^2 +|u times v|^2 = (u^2 . v^2)$
Dove "." sta per "punto" e si riferisce al prodotto scalare, "x" sta per "cross" e si riferisce al prodotto vettoriale.
2. A,B,C, d sono i vertici di un tetraedro (anche non regolare). I vettori u, u', u'', u'' sono i vettori rivolti verso l'esterno e perpendicolari alle 4 facce, i cui moduli corrispondono all'area della rispettiva faccia. (In altre parole, disegnando un tetraedro, fate partire un vettore dal centro della faccia perpendicolare al piano sul quale giace la faccia con il verso diretto all'esterno del tetraedro).
Determinare la somma u+u'+u''+u'''.
Soluzione: vettore nullo.
Dimostrazione?
Qualcuno potrebbe indicarmi una soluzione estesa per questi due problemi?
1. Dimostra l'identità di Lagrange: (u e v sono vettori, non riesco a scriverli...)
$(u . v)^2 +|u times v|^2 = (u^2 . v^2)$
Dove "." sta per "punto" e si riferisce al prodotto scalare, "x" sta per "cross" e si riferisce al prodotto vettoriale.
2. A,B,C, d sono i vertici di un tetraedro (anche non regolare). I vettori u, u', u'', u'' sono i vettori rivolti verso l'esterno e perpendicolari alle 4 facce, i cui moduli corrispondono all'area della rispettiva faccia. (In altre parole, disegnando un tetraedro, fate partire un vettore dal centro della faccia perpendicolare al piano sul quale giace la faccia con il verso diretto all'esterno del tetraedro).
Determinare la somma u+u'+u''+u'''.
Soluzione: vettore nullo.
Dimostrazione?
Risposte
Questo forum permette di inserire le formule usando latex. Ti consiglio di imparare a farlo. Inoltre dovresti cercare di mostrare almeno un qualche accenno di dimostrazione, un tentativo o qualche vaga idea almeno.
Per il primo punto, puoi usare il fatto che \( u \cdot v = |u||v|\cos \theta \) e \( |u \times v| = |u||v|\sin \theta \) dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori? Se puoi farlo allora direi che l'identità è immediata. In caso contrario.. sapresti dimostrare un caso più semplice? Come quello in cui i vettori sono unitari?
Per il secondo punto, perché non provi ad esempio a scrivere u, u', u'' e u''' in funzione di A, B, C, D o dei lati del tetraedro? E poi potresti provare a usare la linearità e l'antisimmetria del prodotto vettoriale per ridurre il numero di addendi.
Per il primo punto, puoi usare il fatto che \( u \cdot v = |u||v|\cos \theta \) e \( |u \times v| = |u||v|\sin \theta \) dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori? Se puoi farlo allora direi che l'identità è immediata. In caso contrario.. sapresti dimostrare un caso più semplice? Come quello in cui i vettori sono unitari?
Per il secondo punto, perché non provi ad esempio a scrivere u, u', u'' e u''' in funzione di A, B, C, D o dei lati del tetraedro? E poi potresti provare a usare la linearità e l'antisimmetria del prodotto vettoriale per ridurre il numero di addendi.
"apatriarca":
Questo forum permette di inserire le formule usando latex. Ti consiglio di imparare a farlo. Inoltre dovresti cercare di mostrare almeno un qualche accenno di dimostrazione, un tentativo o qualche vaga idea almeno.
Per il primo punto, puoi usare il fatto che \( u \cdot v = |u||v|\cos \theta \) e \( |u \times v| = |u||v|\sin \theta \) dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori? Se puoi farlo allora direi che l'identità è immediata. In caso contrario.. sapresti dimostrare un caso più semplice? Come quello in cui i vettori sono unitari?
Per il secondo punto, perché non provi ad esempio a scrivere u, u', u'' e u''' in funzione di A, B, C, D o dei lati del tetraedro? E poi potresti provare a usare la linearità e l'antisimmetria del prodotto vettoriale per ridurre il numero di addendi.
Ciao, mi scuso per la forma con la quale ho scritto il messaggio (adesso mi impegno a modificarla secondo quanto prevede LaTex).
Per il primo punto, credo che come indicato vada più che bene.
Per il secondo punto, domani mattina vedo di giocare con l'anticommutatività per "far sparire tutto". Mi era già venuta come idea, ma speravo esistesse un metodo algebricamente più diretto.
Come metodo è in realtà abbastanza veloce.. Sono solo 4 passaggi. È possibile ci sia qualche metodo più astratto e veloce per farlo, ma perché complicarsi la vita cercando cose complicate quando è possibile risolvere l'esercizio in pochi passaggi in modo semplice?
Nel pto. 2 ho provato ma non riesco a far saltare fuori il vettore nullo
Ponendo $z=u+u'+u''+u'''$ (per facilitare i conti)
arrivo a dire:
$|ABtimesBC|+|BCtimesBD|+|ACtimesAD|+|ABtimesAD|=2z$
Chi mi dà una mano? (Sono ancora agli inizi con la geometria analitica..)
Ponendo $z=u+u'+u''+u'''$ (per facilitare i conti)
arrivo a dire:
$|ABtimesBC|+|BCtimesBD|+|ACtimesAD|+|ABtimesAD|=2z$
Chi mi dà una mano? (Sono ancora agli inizi con la geometria analitica..)
Ma non devi considerare i moduli dei vettori! La formula non ti chiede quello.. Ti chiede di sommare i vettori. Per cui ad esempio
\[ AB \times BC + BC \times BD = AB \times BC - BD \times BC = (AB - BD) \times BC = AD \times BC \]
\[ AB \times BC + BC \times BD = AB \times BC - BD \times BC = (AB - BD) \times BC = AD \times BC \]
Grazie mille, ci sono arrivato. (alla soluzione)
Scusa l'ignoranza.
Scusa l'ignoranza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo