Autovettore normalizzato
Ciao!
Il 1° luglio devo dare l'esame di Matematica (sono uno studente universitario al primo anno di Economia) e tra i vari esercizi che mi possono capitare ce ne è uno dove proprio non so metter mano, ho provato anche a cercare su internet,ma nulla.
Data una matrice quadrata o 2x2 o al massimo 3x3 mi si chiede di calcolare:
1) Gli autovalori
E fin qua zero problemi.
2) Gli Autovettori Normalizzati
Calcolare gli autovettori non è un problema, invece non ho idea di come si NORMALIZZINO.
Sapete aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Il 1° luglio devo dare l'esame di Matematica (sono uno studente universitario al primo anno di Economia) e tra i vari esercizi che mi possono capitare ce ne è uno dove proprio non so metter mano, ho provato anche a cercare su internet,ma nulla.
Data una matrice quadrata o 2x2 o al massimo 3x3 mi si chiede di calcolare:
1) Gli autovalori
E fin qua zero problemi.
2) Gli Autovettori Normalizzati
Calcolare gli autovettori non è un problema, invece non ho idea di come si NORMALIZZINO.
Sapete aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao.
Si tratta di calcolare semplicemente la norma del vettore, e dividere il vettore per questa norma.
Esempio: il vettore che hai trovato è [tex]$(1,-1,2)$[/tex], e come saprai la norma è [tex]$\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}$[/tex] cioè
[tex]$\sqrt{6}$[/tex]
Il vettore normalizzato è
[tex]$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)$[/tex] che si scrive anche [tex]$(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}})$[/tex]
Questo vettore ha ovviamente norma 1, e si chiama spesso "versore", proprio perché serve solo per la direzione e non per la lunghezza, avendo lunghezza unitaria.
Spero ti sia chiaro.
Si tratta di calcolare semplicemente la norma del vettore, e dividere il vettore per questa norma.
Esempio: il vettore che hai trovato è [tex]$(1,-1,2)$[/tex], e come saprai la norma è [tex]$\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}$[/tex] cioè
[tex]$\sqrt{6}$[/tex]
Il vettore normalizzato è
[tex]$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)$[/tex] che si scrive anche [tex]$(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}})$[/tex]
Questo vettore ha ovviamente norma 1, e si chiama spesso "versore", proprio perché serve solo per la direzione e non per la lunghezza, avendo lunghezza unitaria.
Spero ti sia chiaro.
Innanzitutto grazie per la risposta, secondo poi mi sfugge solo una cosa.
Se l'autovettore è formato da numeri , il vettore normalizzato avrà norma 1 e fin qui ok, ma se ad esempio mi capita che nel trovare l'autovettore il sistema di riferimento che uso( e dove sostituisco il corrispondente autovalore) ha $ oo^1 soluzioni $ e quindi può capitare di avere un autovettore del tipo $ (nabla ; nabla ; 0 ) $ per dire che la norma dell'autovettore normalizzato è pari a 1 , devo imporre che la norma dell'autovettore normalizzato sia = 1 da ciò dovrò ricavare un determinato valore di $ nabla $ per cui quanto imposto sia vero?
Se l'autovettore è formato da numeri , il vettore normalizzato avrà norma 1 e fin qui ok, ma se ad esempio mi capita che nel trovare l'autovettore il sistema di riferimento che uso( e dove sostituisco il corrispondente autovalore) ha $ oo^1 soluzioni $ e quindi può capitare di avere un autovettore del tipo $ (nabla ; nabla ; 0 ) $ per dire che la norma dell'autovettore normalizzato è pari a 1 , devo imporre che la norma dell'autovettore normalizzato sia = 1 da ciò dovrò ricavare un determinato valore di $ nabla $ per cui quanto imposto sia vero?
Scusami, ma non ti sto seguendo.
I sistemi di riferimenti non hanno "soluzioni", né vi si sostituiscono dentro degli autovalori.
Inoltre la norma di un vettore normalizzato non devi imporla uguale a 1, perché è già 1 per definizione.
Prova magari a fare un esempio di quello che intendi, altrimenti mi viene difficile capire.
I sistemi di riferimenti non hanno "soluzioni", né vi si sostituiscono dentro degli autovalori.
Inoltre la norma di un vettore normalizzato non devi imporla uguale a 1, perché è già 1 per definizione.
Prova magari a fare un esempio di quello che intendi, altrimenti mi viene difficile capire.
Lo so scusa hai ragione, ho scritto in modo abbastanza incomprensibile 
Allora, provo a spiegare tutto partendo dall'inizio.
Data una matrice chessò, 2 x 2 del tipo: $ ( ( 2 , 2),( 3 , 3 ) ) $
A me hanno insegnato che per calcolare gli AUTOVALORI devo prendere quella matrice aggiungere un parametro - X agli elementi della diagonale principale ottenendo $ ( ( 2 - A, 2),( 3 , 3-A ) ) $ poi calcolo il determinate,lo pongo uguale a zero e i valori di A per cui il determinante si annulla costituiscono gli AUTOVALORI.
A questo punto per calcolare l'autovettore corrispondente ad un autovalore non devo far altro che prendere il sistema $ { ( (2-A)x + 2y=0 ),( 3x + (3-A)y=0 ):} $ e sostituire uno ad uno gli Autovalori, trovando gli autovettori corrispondenti.
Nel sostituire A nel sistema, mi può capitare che il sistema abbia 1 ed una sola soluzione, del tipo x= 4 , y=2, oppure che il sistema abbia $ oo ^1 $ (Teorema Rouche-Capelli e visto che il sistema è omogeneo si ottengono prendendo una delle due equazioni del sistema ad esempio (2-A)x + 2y=0 ,portando y all'altro membro e dandogli valore $ del $ , avendo qualcosa simile a (2-A)x =2$ del $.
Da cui ottengo un autovalore con componenti paramatriche.
Chiaro fin qui?
Allora, provo a spiegare tutto partendo dall'inizio.
Data una matrice chessò, 2 x 2 del tipo: $ ( ( 2 , 2),( 3 , 3 ) ) $
A me hanno insegnato che per calcolare gli AUTOVALORI devo prendere quella matrice aggiungere un parametro - X agli elementi della diagonale principale ottenendo $ ( ( 2 - A, 2),( 3 , 3-A ) ) $ poi calcolo il determinate,lo pongo uguale a zero e i valori di A per cui il determinante si annulla costituiscono gli AUTOVALORI.
A questo punto per calcolare l'autovettore corrispondente ad un autovalore non devo far altro che prendere il sistema $ { ( (2-A)x + 2y=0 ),( 3x + (3-A)y=0 ):} $ e sostituire uno ad uno gli Autovalori, trovando gli autovettori corrispondenti.
Nel sostituire A nel sistema, mi può capitare che il sistema abbia 1 ed una sola soluzione, del tipo x= 4 , y=2, oppure che il sistema abbia $ oo ^1 $ (Teorema Rouche-Capelli e visto che il sistema è omogeneo si ottengono prendendo una delle due equazioni del sistema ad esempio (2-A)x + 2y=0 ,portando y all'altro membro e dandogli valore $ del $ , avendo qualcosa simile a (2-A)x =2$ del $.
Da cui ottengo un autovalore con componenti paramatriche.
Chiaro fin qui?
Ok, ho capito.
Prendendo spunto proprio dal tuo esempio, un autovalore è [tex]$0$[/tex].
Gli autovettori si trovano appunto risolvendo il sistema che hai scritto con [tex]$A=0$[/tex], e abbiamo
[tex]$x+y=0$[/tex] cioè [tex]$y=-x$[/tex]
Gli autovettori sono tutti nella forma [tex]$(x,-x)$[/tex]
Quello che devi fare è imporre la norma uguale a $1$, che è quello che dicevi prima.
In questo caso abbiamo [tex]$\sqrt{x^2+x^2}=1$[/tex]
[tex]$\sqrt{2x^2}=1$[/tex]
[tex]$2x^2=1$[/tex]
[tex]$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] e [tex]$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] da cui abbiamo trovato due autovettori normalizzati.
Spero sia chiaro.
Prendendo spunto proprio dal tuo esempio, un autovalore è [tex]$0$[/tex].
Gli autovettori si trovano appunto risolvendo il sistema che hai scritto con [tex]$A=0$[/tex], e abbiamo
[tex]$x+y=0$[/tex] cioè [tex]$y=-x$[/tex]
Gli autovettori sono tutti nella forma [tex]$(x,-x)$[/tex]
Quello che devi fare è imporre la norma uguale a $1$, che è quello che dicevi prima.
In questo caso abbiamo [tex]$\sqrt{x^2+x^2}=1$[/tex]
[tex]$\sqrt{2x^2}=1$[/tex]
[tex]$2x^2=1$[/tex]
[tex]$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] e [tex]$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] da cui abbiamo trovato due autovettori normalizzati.
Spero sia chiaro.
Perfetto,non ho capito 
Tu prima mi hai detto che l'autovettore normalizzato è = all'autovettore stesso in cui ogni singola componente viene divisa per la norma.
A questo punto l'autovettore normalizzato avrà per definzione norma 1.
Invece ora in questo esempio tu poni uguale ad 1 la norma dell'autovettore di partenza, non avresti dovuto prendere $ sqrt(2x^2) $ , dividirlo per le singole componenti dell'autovettore, ricacolare la norma e constatare che venga = 1?
Tu prima mi hai detto che l'autovettore normalizzato è = all'autovettore stesso in cui ogni singola componente viene divisa per la norma.
A questo punto l'autovettore normalizzato avrà per definzione norma 1.
Invece ora in questo esempio tu poni uguale ad 1 la norma dell'autovettore di partenza, non avresti dovuto prendere $ sqrt(2x^2) $ , dividirlo per le singole componenti dell'autovettore, ricacolare la norma e constatare che venga = 1?
Condensiamo il tutto.
Intanto in questo caso non abbiamo un autovettore, ma un insieme (infinito) di autovettori, nella forma [tex]$(x,-x)$[/tex],
cioè ad esempio $(1,-1)$, $(3,-3)$, $(1/2,-1/2)$.
Di questa infinità di vettori tocca trovare quelli con norma 1, e i modi sono 2:
1)Quello detto da me
2) Anche come dici tu va bene. La norma è [tex]$\sqrt{2x^2}$[/tex], cioè [tex]$\sqrt{2}|x|$[/tex] (portando fuori $x^2$).
Ora dici di dividere le componenti per la norma, e ho appunto, considerando $x$ non nullo,
[tex]$(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{x}{|x|},-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{x}{|x|})$[/tex]
Ma la quantità [tex]$\frac{x}{|x|}$[/tex] può valere soltanto $1$ (per ogni $x$ positivo) o $-1$ (per ogni $x$ negativo)
Quindi alla fin fine si ottengono sempre quei due vettori.
Entrambi i modi vanno bene.
Intendevi forse qualche altra cosa?
Ciao.
Intanto in questo caso non abbiamo un autovettore, ma un insieme (infinito) di autovettori, nella forma [tex]$(x,-x)$[/tex],
cioè ad esempio $(1,-1)$, $(3,-3)$, $(1/2,-1/2)$.
Di questa infinità di vettori tocca trovare quelli con norma 1, e i modi sono 2:
1)Quello detto da me
2) Anche come dici tu va bene. La norma è [tex]$\sqrt{2x^2}$[/tex], cioè [tex]$\sqrt{2}|x|$[/tex] (portando fuori $x^2$).
Ora dici di dividere le componenti per la norma, e ho appunto, considerando $x$ non nullo,
[tex]$(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{x}{|x|},-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{x}{|x|})$[/tex]
Ma la quantità [tex]$\frac{x}{|x|}$[/tex] può valere soltanto $1$ (per ogni $x$ positivo) o $-1$ (per ogni $x$ negativo)
Quindi alla fin fine si ottengono sempre quei due vettori.
Entrambi i modi vanno bene.
Intendevi forse qualche altra cosa?
Ciao.
Esatto, esatto,intendevo proprio quello.
Perfetto, quindi le due cose coincidono
Ti ringrazio veramente tanto dell'aiuto che mi hai dato, finalmente posso andare a quel danno esame e prendere un bel 30 visto che con questo ho capito come fare tutti gli esercizi
Grazie ancora per la disponibilità!
Ciao!
Perfetto, quindi le due cose coincidono
Ti ringrazio veramente tanto dell'aiuto che mi hai dato, finalmente posso andare a quel danno esame e prendere un bel 30 visto che con questo ho capito come fare tutti gli esercizi
Grazie ancora per la disponibilità!
Ciao!
Prego, in bocca al lupo per l'esame.
Se vuoi, facci sapere come è andato!
Ciao.
Se vuoi, facci sapere come è andato!
Ciao.
Potete vedere se ho fatto bene questo esercizio?
trovare tutti gli autovalori e gli autovettori linearmente indipendenti e di norma unitaria della seguente matrice:
$A=((1,0,1),(1,0,-1),(0,0,2))$
Per trovare gli autovalori utilizziamo il polinomio caratteristico $A-\lambdaI=0$
$A-\lambdaI=((1-\lambda,0,1),(1,-\lambda,-1),(0,0,2-\lambda))$
da cui il determinante è:$(2-\lambda)(1-\lambda)(-\lambda)$
le soluzioni quindi sono $\lambda=0;\lambda=1;\lambda=2$
l'autovettore associato a $\lambda=0$ è
$\{(x +z = 0),(x - z = 0),(2z = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(0,y,0)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{0^2+(y)^2+0^2}=1$[/tex]
e cioè $y=1$
l'autovettore associato a $\lambda=1$ è
$\{(z = 0),(x -y-z = 0),(z = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(x,x,0)$ e $(y,y,0)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{x^2+(x)^2+0^2}=1$[/tex]
e cioè $x=y=sqrt1$
l'autovettore associato a $\lambda=2$ è
$\{(-x+z = 0),(x -2y-z = 0),(0 = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(z,0,z)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{z^2+(0)^2+z^2}=1$[/tex]
e cioè $z=sqrt1$
Tutto giusto? Nello svolgimento fatto in classe per trovare le soluzioni del sistema hanno usato la regola di cramer,ma conviene?
trovare tutti gli autovalori e gli autovettori linearmente indipendenti e di norma unitaria della seguente matrice:
$A=((1,0,1),(1,0,-1),(0,0,2))$
Per trovare gli autovalori utilizziamo il polinomio caratteristico $A-\lambdaI=0$
$A-\lambdaI=((1-\lambda,0,1),(1,-\lambda,-1),(0,0,2-\lambda))$
da cui il determinante è:$(2-\lambda)(1-\lambda)(-\lambda)$
le soluzioni quindi sono $\lambda=0;\lambda=1;\lambda=2$
l'autovettore associato a $\lambda=0$ è
$\{(x +z = 0),(x - z = 0),(2z = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(0,y,0)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{0^2+(y)^2+0^2}=1$[/tex]
e cioè $y=1$
l'autovettore associato a $\lambda=1$ è
$\{(z = 0),(x -y-z = 0),(z = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(x,x,0)$ e $(y,y,0)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{x^2+(x)^2+0^2}=1$[/tex]
e cioè $x=y=sqrt1$
l'autovettore associato a $\lambda=2$ è
$\{(-x+z = 0),(x -2y-z = 0),(0 = 0):}$
quindi le soluzioni del sistema sono dei vettori dei tipo$(z,0,z)$
per avere norma unitaria la distanza deve essere[tex]$\sqrt{z^2+(0)^2+z^2}=1$[/tex]
e cioè $z=sqrt1$
Tutto giusto? Nello svolgimento fatto in classe per trovare le soluzioni del sistema hanno usato la regola di cramer,ma conviene?
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