Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti. Ho l' esame domani e mi sento abbastanza preparato, ma avrei questo problemino che mi tiene in scacco:
determinare un'equazione cartesiana del piano S contenente la retta $r$ intersezione dei due piani
$S1=2x-3y+z-1=0$
$S2=x-y-3=0$
e parallelo alla retta $s$ con direzione $v(0,1,2)$.
So per certo che la forma vettoriale del piano sarà così
$P+<(1,1,1),h(0,1,2)>$
con $P$ appartenente a $r$, e ...
Ciao a tutti, qualcuno mi sa indicare un algoritmo semplice per ricavare gli autovettori generalizzati e di conseguenza la matrice modale generalizzata che mi consente di portare una matrice quadrata in forma di Jordan? Ho a che fare con matrici che hanno come elementi solo numeri reali. Ad esempio, la matrice 6x6:
2 1 0 0 -3 -1;
0 2 4 0 0 0;
0 0 2 0 0 0;
0 -1 0 2 4 0;
0 0 1 0 2 0;
0 0 0 0 0 2;
Nei libri che ho consultato ho trovato 2 diverse tecniche ma ...
Sia A=\begin{pmatrix} -2 & 2\\ 3 &-1\end{pmatrix} $ in $ M2(R) e siano U={X$in$ M2(R) t.c. XA è simmetrica} e W={x$in$ M2(R) t.c. XA è diagonale}. Verificare che U e W sono sottospazi vettoriali M2(R). Determinare la dimensione di U e di W. Calcolare U intersezione W, U+W. U unione W è un sottospazio vettoriale di M2(R)? determinare un sottospazio supplementare di U e un sottospazio supplementare di U intersezione W.
Buongiorno...
Abbiamo il sottospazio A generato dalle matrici { $ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) $ , $ ((-1 , 3) , (1,1)) $ } e bisogna trovarne le basi.
Sono davvero dubbioso, prima ancora che su come cercarlo, su COSA cercare.
La base dovrà essere della forma $ ( ( b1 ),( b2) ) $ o $ ( ( b1 , b2 ),( b3 , b4 ) ) $ ?
Nel primo caso, che credo sia quello sbagliato avrei trovato come basi (1,0) e (1,2), mentre nel secondo caso mi sembra già che siano lin. indipendenti e quindi le basi sono le matrici stesse...
Bho!!
Ho un problemino di partenza su questo esercizio.
$ V= \{ x in RR^4 : x_1 +3* x_2 + x_3 + 3* x_4 = 0 , 2*x_1+5*x_2+2*x_3+5*x_4 = 0 } $
Determinare $V^bot$
Determinare una base ortogonale di $V^bot$
Ora per la risoluzione io so che per determinare $V^bot$ devo trovare l-insieme dei vettori che sono ortogonali al
sottospazio $V$ originale e per fare questo devo trovare i vettori che mi danno un prodotto scalare uguale a zero
rispetto a quelli di partenza.
giusto?
Il mio problema e' che non ho capito come ...
Ciao a tutti, sono di fronte a questo esercizio, ma non capisco dove sia il mio errore, nel calcolo della dimensione di $Im(f)$. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo
Data l'applicazione lineare $f: RR^4\to RR^3$ rappresentata dalla matrice $ A=( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 1 , -3 , -1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ) ) $
rispetto alla base $ B=\{b_1=((1),(1),(0),(3)), b_2=((1),(0),(0),(-1)),b_3=((1),(-1),(0),(-2)), b_4=((0),(1),(2),(-1))\}\in RR^4 $
e alla base $ C=\{c_1=((1),(-1),(3)), c_2=((2),(0),(1)),c_3=((1),(-2),(2))\}\in RR^3 $
Determinare $Ker f$ e $Im(f)$
ho provato a svolgere così
qui è come ho trovato il $Ker f$ però questo mi viene ...
Ciao a tutti, volevo sapere se qualcuno poteva gentilmente consigliarmi del materiale "base" sui seguenti argomenti:
-Versione puramente algebrica del calcolo differenziale e integrale negli spazi piatti.
-Geometria differenziale sintetica.
-Teoria geometrica della misura secondo Schanuel.
-Fondamenti algebrico-geometrico-logico-categoriali della meccanica quantistica.
-Modelli della geometria differenziale, con l'uso di quantita' pure nilpotenti, nei fasci su siti di C∞-algebre ...
Pensavo a come dimostrare che il rango di una matrice e' unico -sia che lo si pensi come `quante colonne libere' sia che lo si veda come `quante righe libere'. La dimostrazione di cui dispongo pero' si rifa -piu' elegantemente- al teorema di Rouche'-Capelli -che per il momento non voglio usare.
Posto di seguito la dimostrazione che mi verrebbe piu' spontanea:
osservazione (quella da dimostrare): sia \(A \in \mathcal{M}_{h \times n}(\mathbb{K})\). Allora
\[\operatorname{rank}_c(A) = ...
salve avrei due esercizi e non saprei come procedere
mi potete dare una mano?
1)
Siano A= $((100,97,94,91,88),(99,96,93,90,87),(98,95,92,89,86))$ $in$ $F_101^(3*5)$
e B=$((0,5,10),(1,6,11),(2,7,12),(3,8,13),(4,9,14))$ $in$ $F_101^(5*3)$
si provi che $Det (BA)=0$
2)
Sia $ H={f $ $in$ $CC$ $[t] |f(i)=f(-i)} $ ;
I) si provi che $ {1,$ $t^2$, $t+t^3$$} $ è una base di $H$;
II)sia $\psi$: ...
mi potete spiegare come si calcolano i prodotti scalari definiti da integrali?
cioe, il mio prof chiede spesso di provare che $psi$ $(f,g)$ è un prodotto scalare hermitiano dove $psi$ sono integrali del tipo: $int (e^(2+3i)+e^(2-3i))$ da 0 a 1/e^2
Salve a tutti
Avrei un problema da proporvi:
Studiare la posizione reciproca al variare del parametro reale $a$ delle rette:
$r:{(x+az+1=0),(x-y+z+a=0):}$
$s:{(x=-3+3t),(y=2t),(z=-3-t):}$
SVOLGIMENTO
Scrivo $r$ in forma parametrica, per estrapolare il vettore direzionale:
$r:{(x=t),(y=((a^2-1)/a)+((a-1)/a)t),(z=-1/a-(1/a)t):}$
Quindi avrò i due vettori direzionali:
$v_r=(1,(a-1)/a,-1/a)$
$v_s=(3,2,-1)$
Studiando la relazione $v_r=gammav_s$, controllo il parallelismo:
${(3gamma=1),(2gamma=(a-1)/a),(gamma=1/a):}$
Dal quale ...
$T = ((0,0,-\sqrt(3)), (0,-3,0), (-\sqrt(3), 0,-2))$
Ha come autovalori $\sigma_1 = 1$ $\sigma_2 = -3$ $\sigma_2 = -3$
L'autovettore relativo a $\sigma_1$ è pari a gia normalizzato $f_1 = ((-\sqrt(3)/2),(0),(1)) $
Nel trovare gli altri due ho una matrice con 2 parametri liberi e qui dopo un anno dall'esame di geometria ho dei dubbi sulla correttezza del procedimento. Quindi usando il restante autovalore mi trovo in questa situazione:
$((3,0,-\sqrt(3)),(0,0,0),(0,0,0))$
Quindi la seconda e terza colonna $y,z$ sono i parametri ...
salve a tutti, è un po' che combatto con questo esercizio:
Considerare i sottospazi seguenti dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o
uguale a tre:
H={p(x) ∈ R3 [x] | p(x)= (ax + b)(x^2 + 1), a,b ∈ R }
k={p(x) ∈ R3 [x] | p(x)= α(1 + x^3)+ βx, a,b ∈ R }
(a) Determinare dimensione e base per H e K:
(b) Completare la base trovare per H ad una base di R3[x]:
(c) Determinare dimensione e base di H ∩ K:
come devo iniziare?! svolgo il polinomio di terzo grado?! vorrei delle linee guida ...
Ciao a tutti, stavo svolgendo il seguente esercizio e mi sono trovato in diffcoltà nel trovare una matrice che elevata al cubo sia uguale alla matrice nulla. Il testo recita:
Sia $T: RR^3 -> RR^3$ tale che $T^2 != 0$ e $T^3 = 0$. Dimostrare che:
- \(\displaystyle Ker(T) \subset Ker(T^2)\subset Ker(T^3) = \mathbb{R}^3 \)
E' semplice dimostrare che $Ker(T^3) = RR^3$ sapendo che $T^3 = 0$, ma per dimostrare le due relazioni che lo precedono dovrei avere la matrice di ...
Salve ragazzi,
a luglio ho l'esame di geometria e algebra lineare e non ho ben capito come si calcola il nucleo e l'immagine di una matrice. Ad esempio ho difficoltà con quest'esercizio:
Esercizio 1
Sia f : R4 in R4 l'applicazione lineare dipendente da un parametro $ Lambda $ appartiene R seguente:
f: $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4 ) ) $ = $ ( ( 1 , 2 , -1 , lambda ),( 1 , 1 , -1 , 1 ),( 2 , lambda , -2 , 2 ),( 2 , 1 , -lambda , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ il nucleo è diverso da 0
Per un valore di $ lambda $ scelto a piacere fra quelli ...
Ho questo grave problema con geometria analitica. Mi fermo completamente alle cose iniziali, il problema principale è che non riesco a cogliere il senso delle equazioni che rappresentano rette nel piano e rette e piani nello spazio.
Come faccio a scrivere le equazioni cartesiane e parametriche di una retta nel piano (e anche di rette e piani nello spazio)? Cosa diavolo è "il vettore direttore"? Cosa rappresentano i parametri nelle equazioni parametriche?
Accetto qualsiasi tipo di consiglio, ...
Salve ragazzi, buon sabato a tutti
ho dei dubbi riguardo quest'esercizio e vorrei cercare di chiarirli grazie al vostro aiuto.
L'esercizio enuncia:
Si consideri la seguente matrice dipendente dal parametro $ lambda in $ R:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , lambda , 1 ),( 3 , 2 , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ la matrice è invertibile
b) per un valore di $ lambda $ scelto a piacere, determinare l'inversa della matrice.
Procedimento:
per quanto riguarda il punto a) per determinare i valori di ...
Nella dimostrazione di un teorema di geometria riguardante i fasci di coniche:
In un fascio di coniche ci sono tre coniche spezzate oppure tutte le coniche del fascio sono spezzate.
a un certo punto mi trovo a dover calcolare il determinante di questa bellissima matrice:
$B=| ( lambdaa_11+ μb_11 , lambdaa_12+ μb_12 , lambdaa_13+ μb_13 ),( lambdaa_12+ μb_12 , lambdaa_22+ μb_22 , lambdaa_23+ μb_23 ),( lambdaa_13+ μb_13 , lambdaa_23+ μb_23 , lambdaa_33+ μb_33 ) | $
solo un piccolo problema, troppe lettere che ingarbugliano i calcoli ma sono sicuro che c'è il trucco, infatti il mio libro scrive:
il determinante della matrice B è una somma di prodotti a tre a tre di ...
Buonasera a tutti!
Ho questa matrice:
A= $((1,0,0,-1),(0,0,0,1-k),(0,0,0,0),(-1,1-k^2,0,1))$
Tra i vari quesiti del problema, ce n'è uno in cui devo trovare i k per cui il rango di questa matrice sia 3.
Nelle soluzioni dell'esercizio vedo che dicono che rkA=3 $hArr$ det $((1,0,-1),(0,0,1-k),(0,1-k^2,0))$.
Conosco il legame che c'è tra determinante e rango di una matrice, ma sinceramente in questo caso non capisco come faccia dalla matrice di partenza ad arrivare a questa sottomatrice...togliendo righe e/o colonne non si riesce ad ...
Ciao,
scusate ho posato male la domanda, per calcolarmi il piano osculatore senza usare il versore tangente, e binormale ho bisogno del punto dove voglio calcolarmi il piano, la derivata prima e seconda in quel punto(che sono dei vettori), una volta calcolati come si procede per calcolare il piano osculatore?
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